私砍树木的处罚部门主要是县级以上人民政府林业主管部门，若构成犯罪，则司法机关也会介入处理。以下是对此问题的详细分析：
一、行政处罚部门及措施
处罚部门：
- 县级以上人民政府林业主管部门是负责处理私砍树木行政案件的主要部门。
处罚措施：
- 盗伐林木：根据《中华人民共和国森林法》第七十六条，盗伐林木的，由县级以上人民政府林业主管部门责令限期在原地或者异地补种盗伐株数一倍以上五倍以下的树木，并处盗伐林木价值五倍以上十倍以下的罚款。
- 滥伐林木：同样根据《中华人民共和国森林法》第七十六条，滥伐林木的，由县级以上人民政府林业主管部门责令限期在原地或者异地补种滥伐株数一倍以上三倍以下的树木，可以处滥伐林木价值三倍以上五倍以下的罚款。
二、刑事处罚部门及措施
处罚部门：
- 若私砍树木行为构成犯罪，如盗伐林木罪或滥伐林木罪，则司法机关（包括公安机关、检察院和法院）将介入处理。
处罚措施：
- 盗伐林木罪：根据《中华人民共和国刑法》第三百四十五条第一款，盗伐森林或者其他林木，数量较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数量巨大的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金；数量特别巨大的，处七年以上有期徒刑，并处罚金。
- 滥伐林木罪：根据《中华人民共和国刑法》第三百四十五条第二款，违反森林法的规定，滥伐森林或者其他林木，数量较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数量巨大的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
三、其他法律责任
民事赔偿：
- 如果私砍树木行为对他人造成了损失，如导致他人财产受损或影响了他人的正常生产生活，违法者还需承担相应的民事赔偿责任。赔偿范围包括树木本身的价值以及因砍伐导致的其他经济损失，如景观破坏、生态功能丧失等间接损失。
生态修复责任：
- 在某些情况下，违法者可能需要承担生态修复的责任，如通过植树造林等方式来恢复被破坏的生态环境。
四、实际应用与指导意义
- 增强法律意识：私砍树木行为不仅损害了他人的合法权益，也破坏了生态环境。因此，必须严格依法惩处。对于普通民众而言，应增强法律意识，切勿因一时贪念而触犯法律。
- 及时举报：发现私砍树木行为时，应及时向县级以上人民政府林业主管部门或相关司法机关举报，共同维护我们的绿色家园。
总结来说，私砍树木的处罚部门主要是县级以上人民政府林业主管部门，若构成犯罪，则司法机关也会介入处理。处罚措施包括行政处罚、刑事处罚以及民事赔偿和生态修复责任等。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。