结论：公司开除正式员工是否需要支付补偿以及是否合法，主要取决于开除的具体原因和是否符合《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。
一、无需支付补偿且合法的开除情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，以下情况下，公司可以合法解除劳动合同且无需支付任何补偿：
- 试用期间不符合录用条件：若员工在试用期内被证明不符合录用条件，公司有权解除劳动合同。
- 严重违反规章制度：员工如多次旷工、在工作场所打架斗殴等，且这些行为明确违反了公司规章制度中可解除劳动合同的条款，公司可依法开除员工。
- 严重失职或营私舞弊：若员工因故意或重大过失导致公司遭受重大经济损失，公司有权解除劳动合同。
- 与其他单位建立劳动关系：员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或经公司提出后拒不改正的，公司可解除劳动合同。
- 劳动合同无效：因特定情形（如欺诈、胁迫等）导致的劳动合同无效，公司可解除劳动合同。
- 被追究刑事责任：员工如因犯罪行为被人民法院判处刑罚，公司可解除与其的劳动合同。
二、需要支付经济补偿的合法开除情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条、第四十一条和第四十六条，以下情况下，公司解除劳动合同需支付经济补偿：
- 员工患病或非因工负伤：员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作也不能从事公司另行安排的工作的，公司需支付经济补偿。
- 员工不能胜任工作：员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任的，公司需支付经济补偿。
- 客观情况发生重大变化：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且公司与员工未能就变更合同内容达成协议的，公司需支付经济补偿。
- 经济性裁员：公司因经营困难、重整等原因需要裁减人员的，也需向被裁减的员工支付经济补偿。
经济补偿的计算方法：
- 按员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算。
- 不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
三、需要支付赔偿金的违法开除情形
如果公司没有合法的理由或未遵循法定的程序开除员工，即属于违法解除劳动合同。在这种情况下，员工可以要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。公司应依照《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定支付赔偿金。
法律建议
- 明确开除原因：员工在面对开除情况时，应首先明确开除的具体原因，以便判断公司是否需要支付经济补偿或赔偿金。
- 保留证据：员工应保留与开除相关的所有证据，如劳动合同、公司规章制度、开除通知等，以便在需要时维护自己的合法权益。
- 寻求法律帮助：如果员工对公司的开除决定有异议，或认为公司未依法支付经济补偿或赔偿金，可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径维护自己的权益。
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