公司不可以不与员工签订劳动合同，这是法律的强制性要求。下面我从法律要求、不签订劳动合同的法律后果以及劳动者的应对措施三个角度，为你详细分析这个问题。
一、法律要求
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。无论是同时订立还是后续补订，都应在用工之日起一个月内完成。这一规定强调了劳动合同的法定性和及时性，公司不能以任何理由规避签订劳动合同的义务。
二、不签订劳动合同的法律后果
支付双倍工资：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，需向劳动者每月支付二倍的工资。这一惩罚性措施旨在促使公司及时履行签订劳动合同的义务，保护劳动者的合法权益。
视为已订立无固定期限劳动合同：
- 《劳动合同法》第十四条第三款规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，将视为双方已订立无固定期限劳动合同。这意味着公司将面临更严格的解雇限制和更高的管理成本。
无法约定试用期：
- 试用期是包含在劳动合同期限内的，如果未签订书面劳动合同，则无法合法约定试用期。这将影响公司对新员工进行适应性和能力评估的灵活性。
员工稳定性和商誉影响：
- 不签订劳动合同可能导致员工对公司的不信任和不满，进而增加员工流失率，特别是优秀的员工和技术人员。此外，员工的投诉和不满还可能对公司的声誉和商业信誉造成负面影响。
三、劳动者的应对措施
面对公司未与劳动者签订劳动合同的情况，劳动者可以采取以下措施来维护自身合法权益：
收集证明劳动关系的证据：
- 在没有劳动合同的情况下，证明劳动关系是维权的关键。劳动者可以收集工资支付凭证或记录（如银行流水账单）、工作证件（如工作证、服务证）、考勤记录（包括纸质考勤表、电子考勤记录）、同事证言（最好出庭作证以增强可信度）以及工作相关文件（如工作任务安排邮件、项目报告、业务合同）等证据。
与公司协商解决：
- 在收集好证据后，劳动者应首先尝试与公司进行友好协商，要求签订书面劳动合同。协商时需明确表达签订劳动合同的期望和需求，并说明不签订劳动合同可能带来的风险和不确定性。同时，保留好协商过程中的聊天记录、通话录音等，以备后续需要。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉。投诉时需准备身份证复印件、证明劳动关系的证据材料及投诉书。投诉书需详细说明诉求，如要求公司签订劳动合同、支付双倍工资等。劳动监察部门将在规定时间内进行调查，并根据调查结果对公司作出处理。
申请劳动仲裁：
- 若劳动监察部门的处理结果不能满足诉求，或公司仍拒绝签订劳动合同，劳动者可向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。申请仲裁时需注意仲裁时效（劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算），并提交仲裁申请书、身份证复印件、证明劳动关系的证据等材料。仲裁申请书需写明仲裁请求、事实和理由。在庭审中，劳动者需提供证据支持自己的主张，公司也会进行答辩和举证。仲裁庭将根据双方提供的证据和陈述进行审理，并作出裁决。如仲裁裁决支持请求，公司应履行义务；如不履行，劳动者可向人民法院申请强制执行。
总结与建议：公司必须与劳动者签订书面劳动合同，这是法律的明确要求。面对公司未签订劳动合同的情况，劳动者应积极采取措施维护自身权益。在整个维权过程中，劳动者需特别注意保留证据、依法操作，并在必要时寻求专业律师（比如我）的意见，以确保权益得到有效保障。如果你有任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。