当劳动合同过期一个月未续签时，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位确实需要承担一定的法律责任并进行相应赔偿。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”这一条款明确指出了用人单位在劳动合同期满后未及时续签合同时的法律责任。
二、赔偿标准
双倍工资差额：
- 如果劳动合同期满后，用人单位继续用工但未及时续签合同，那么从合同期满后的第二个月开始至补订书面劳动合同的前一日，用人单位应向劳动者每月支付双倍工资的差额部分。
- 举例说明：若劳动合同于2023年1月1日到期，而用人单位直到2023年3月1日才与劳动者续签合同，那么用人单位应支付2023年2月整月的双倍工资差额（即额外支付一个月的工资）。
经济补偿金（在特定情况下）：
- 如果因用人单位的原因导致劳动合同无法续签，或者双方协商一致解除劳动合同，用人单位可能还需要向劳动者支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算依据劳动者在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
三、实际操作建议
与用人单位协商：
- 劳动者应首先尝试与用人单位进行协商，要求尽快续签劳动合同并明确相关待遇和条件。
- 如果协商不成，可以明确提出支付双倍工资差额和经济补偿金的要求。
保留证据：
- 劳动者应妥善保留与用人单位存在劳动关系的相关证据，如工作证、考勤记录、工资条等。
- 这些证据在后续维权过程中将起到关键作用，有助于证明劳动者的权益和用人单位的过失。
申请劳动仲裁：
- 如果用人单位拒绝支付双倍工资差额和经济补偿金，劳动者可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 在申请仲裁时，应提交详细的仲裁申请书和相关证据材料，以支持自己的诉求。
提起诉讼：
- 如果对仲裁结果不满意，劳动者还可以向人民法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，应充分阐述自己的诉求和理由，并提供充分的证据支持，以维护自己的合法权益。
综上所述，当劳动合同过期一个月未续签时，劳动者有权要求用人单位支付双倍工资差额，并在特定情况下要求支付经济补偿金。为了维护自己的权益，劳动者应与用人单位协商、保留证据、申请劳动仲裁或提起诉讼。