第二次合同到期第二天单位告知不续签，单位应当向劳动者支付赔偿金。具体分析如下：

一. 单位应当续签无固定期限劳动合同

• 根据《劳动合同法》第十四条的规定，用人单位与劳动者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有劳动合同法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。因此，在第二次合同到期后，如果劳动者提出续订，且不存在可被解除劳动合同的情形，单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。

二. 单位不续签需支付赔偿金

• 根据《劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。由于单位在第二次合同到期第二天告知不续签，违反了应当订立无固定期限劳动合同的规定，因此应当向劳动者支付赔偿金。
• 赔偿金的计算方式为：根据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。然后，将这个经济补偿标准乘以二，即为单位应当支付的赔偿金。

三. 实际案例支持

• 以顾千凡案为例，顾千凡与单位连续签订了两次固定期限劳动合同后，单位在第二次合同到期前通知终止劳动合同，未续签无固定期限劳动合同。最终，法院判决单位支付违法终止劳动合同赔偿金。这一案例进一步支持了上述观点。

我建议：如果单位在第二次合同到期后未与劳动者续签无固定期限劳动合同，劳动者可以依法向单位主张赔偿金。如有进一步需要，您可以继续咨询我。