结论前置：

1. 公司行为不合法：劳动合同到期后，公司不续签原合同而要求签其他公司合同的行为，通常不合法。
2. 经济补偿责任：在此情况下，原公司有责任向劳动者支付经济补偿。

详细分析：

一、公司行为合法性分析

根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，用人单位与劳动者应当就是否续订劳动合同进行协商。若用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订的，则劳动合同终止，用人单位无需支付经济补偿。然而，在本案例中，公司并未维持或提高原劳动合同条件，而是要求劳动者与其他公司签订合同，这明显改变了用人单位主体，不属于维持或提高原劳动合同约定条件而续订的范畴。因此，公司的这种行为通常被视为不合法。

二、经济补偿责任分析

1. 经济补偿的法律依据： 根据《劳动合同法》第四十六条和第四十七条的规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

2. 经济补偿的计算方式：

   • 工作年限计算：经济补偿的计算基于劳动者在本单位的工作年限。
   • 月工资标准：月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

三、劳动者应对策略

1. 与公司协商： 劳动者可以首先尝试与公司进行协商，明确表达自己的意愿和诉求，要求公司按照法律规定支付经济补偿。

2. 申请劳动仲裁： 若协商无果，劳动者可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求公司支付经济补偿并确认公司行为的违法性。

3. 提起诉讼： 若对劳动仲裁结果不满，劳动者还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。

四、风险提示

劳动者在处理此类问题时，应注意保留相关证据，如劳动合同、工资单、工作证明等，以便在协商、仲裁或诉讼过程中证明自己的权益。同时，劳动者也应了解自己的法律权益和义务，避免因不了解法律而错过维权时机。

总结与建议：

劳动合同到期后，公司不续签原合同而要求签其他公司合同的行为通常不合法。在此情况下，原公司有责任向劳动者支付经济补偿。劳动者可以通过与公司协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等方式来维护自己的合法权益。若您在此方面遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。