针对您描述的情况，即摆摊未签合同但已支付租金，且原本约定了摆摊期限，现在中途被要求停止摆摊，我们可以从以下几个角度进行分析：

1. 合同关系的认定：

   • 尽管双方没有签订书面的租赁合同，但根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，口头合同同样具有法律效力。只要双方就租赁事宜（包括租金、租赁期限等）达成了合意，并且一方已经履行了主要义务（如支付租金），对方也接受了，那么合同关系即成立。
   • 在此情况下，您已经支付了租金，可以视为履行了主要义务，因此您与出租方之间存在有效的租赁合同关系。

2. 出租方的违约行为：

   • 出租方在租赁期限内无故要求您停止摆摊，这构成了违约行为。根据《中华人民共和国民法典》的规定，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。
   • 您有权要求出租方继续履行合同，即允许您继续摆摊至约定的期限；或者要求出租方赔偿因违约给您造成的损失，包括但不限于预期收益、搬迁费用等。

3. 解决途径：

   • 协商：首先，您可以尝试与出租方进行协商，看是否能够达成和解，比如延长租赁期限、减免部分租金作为补偿等。
   • 调解：如果协商无果，您可以考虑向当地的调解组织申请调解，调解组织会协助双方进行沟通，促成和解。
   • 诉讼：如果调解也未能解决问题，您可以向人民法院提起诉讼，要求出租方承担违约责任。在诉讼过程中，您需要提供证据证明双方存在租赁合同关系、您已经履行了支付租金的义务、以及出租方存在违约行为等事实。

4. 证据收集：

   • 在处理此类纠纷时，证据的收集至关重要。您应当尽可能收集与租赁事宜相关的证据，如支付租金的凭证（银行转账记录、收据等）、与出租方的沟通记录（短信、微信聊天记录、录音等）、以及能够证明您原本可以在该地点摆摊的证据（如照片、视频等）。

针对您的情况，我建议您首先尝试与出租方进行协商，看是否能够达成和解。如果协商无果，您可以考虑向当地的调解组织申请调解。如果调解也未能解决问题，那么您可以向人民法院提起诉讼，要求出租方承担违约责任。 在整个过程中，务必注意证据的收集和保存，以便在需要时能够提供有力的证明。如果您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。