结论：午托班老师寒暑假无工资的情况下可以签订劳务合同，且工资可以约定按月发放，但需注意合同条款的合法性与合理性。以下是具体分析：

1. 劳务合同的适用性
   根据《民法典》合同编，劳务合同是平等主体之间就劳务提供与报酬支付达成的协议，适用于非全日制、临时性或特定项目的工作关系。午托班老师若属于非全日制用工（如每日工作时间不超过4小时，每周累计不超过24小时），或双方明确约定为劳务关系（如退休返聘、兼职等），可签订劳务合同。但需注意：

   • 若老师属于全日制员工（每日工作超4小时），则应签订劳动合同，受《劳动合同法》保护，此时寒暑假无工资可能违法（除非符合法定停工情形）。
     
   • 劳务合同中需明确工作内容、报酬标准、支付方式及寒暑假期间的待遇安排，避免模糊条款导致纠纷。

2. 寒暑假无工资的合法性

   • 劳务合同下：双方可自由约定寒暑假期间是否支付工资。若合同明确约定“寒暑假无薪”，则不违法，但需确保老师知情并同意。
     
   • 劳动合同下：全日制员工在寒暑假期间（如学校放假）若未提供劳动，用人单位一般无需支付工资，但需符合以下条件：
     
     • 双方劳动合同或规章制度中明确约定；
       
     • 非因用人单位原因停工（如学校统一放假）；
       
     • 停工期间不超过一个工资支付周期（通常为1个月），超过后需按最低工资标准支付生活费（部分地区规定）。
       
   • 风险提示：若老师实际为全日制员工，但用人单位通过劳务合同规避劳动合同义务（如不缴社保、随意解雇），可能被认定为“事实劳动关系”，需承担未签劳动合同的双倍工资等责任。

3. 工资按月发放的可行性
   无论是劳务合同还是劳动合同，均可约定工资按月发放，但需注意：

   • 劳务合同：报酬支付周期由双方协商，按月发放合法，但需在合同中明确支付时间、方式及逾期责任。
     
   • 劳动合同：根据《工资支付暂行规定》，工资至少每月支付一次，实行周、日、小时工资制的可按周、日、小时支付。若寒暑假无薪，需在合同或规章制度中明确，并符合地方规定（如部分地区要求停工期间支付基本生活费）。

建议：

• 明确用工性质：根据工作时间、管理方式等判断是劳务关系还是劳动关系，选择对应合同类型。
  
• 细化合同条款：在合同中明确寒暑假期间的待遇（如有薪/无薪）、工资计算方式、支付时间及违约责任。
  
• 遵守地方规定：部分地区对停工期间工资有特殊要求（如最低工资标准），需提前核查。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体条款设计或风险防范措施。