没有房产证的房子私下签的协议，理论上可以进行公证，但公证的内容和效果有限，且无法从根本上解决无房产证带来的法律风险。以下从不同角度为您详细分析：
公证内容与效果
公证内容：
- 公证机构在受理无房产证房屋买卖协议时，主要职责在于对协议双方的签约行为以及协议内容的真实性、合法性进行证明。这包括确认双方签字、印章的真实性，以及协议内容是否违反法律、行政法规的强制性规定，是否存在欺诈、胁迫等情形。
- 然而，公证机构无法证明该房屋的产权归属，因为房产证是房屋所有权的重要凭证，没有房产证，就无法准确确认房屋的产权状况。
公证效果：
- 公证只能证明协议本身的效力，却无法弥补房屋没有房产证这一根本性问题。即便买卖协议经过公证，也不能改变房屋的产权状况。
- 未来若发生纠纷，如卖方反悔，买方虽然可以凭借公证协议主张权益，但在没有房产证的情况下，难以直接取得房屋的所有权。
法律依据与限制
《中华人民共和国公证法》相关规定：
- 公证机构在办理公证时，需审查当事人的身份、资格、权利，文书内容的完备性、清晰性，以及证明材料的真实性、合法性、充分性，同时确保申请公证的事项真实、合法。
- 没有房产证的房屋，其所有权归属和权利状态不明确，无法满足上述审查要求，因此公证机构在办理此类公证时可能会持谨慎态度。
《中华人民共和国民法典》物权编相关规定：
- 不动产物权的设立、变更、转让和消灭，需经依法登记才发生效力。房产证作为房屋所有权的重要凭证，其缺失意味着物权登记存在缺失，物权归属不明确。
- 公证机构为保证公证事项的合法性和有效性，通常不会对涉及物权归属不明确的房屋买卖协议进行公证。
《城市房地产管理法》的相关规定：
- 未依法登记领取权属证书的房地产不得转让。虽然此规定并未直接涉及公证，但它反映了未取得权属证书的房屋在转让上存在的法律限制，这也间接影响了公证机构对此类房屋买卖协议的公证意愿和决定。
实际操作与建议
实际操作：
- 虽然理论上无房产证房屋买卖协议可以办理公证，但实际操作中，公证机构可能会根据具体情况和当地政策有不同的操作要求。
- 在某些情况下，如果能提供其他充分的证据证明房屋产权情况及买卖的合法性，也可能存在特殊处理。但这种情况较为罕见，且需要满足严格的条件。
建议：
- 在进行无房产证房屋买卖时，双方应尽可能完善相关证明材料，如提供房屋的建设审批手续、宅基地使用证明等，以降低法律风险并保障自身权益。
- 如果条件允许，建议尽量选择有房产证的房屋进行交易，以避免不必要的法律纠纷和风险。
- 如需更具体的法律指导或遇到复杂的法律问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见。