当检察院监督撤案后出现新证据时，若该证据足以改变案件性质或情况，使得原本不符合立案条件的案件变得符合条件，相关机关应当重新处理案件。具体来说，可以从以下几个角度进行分析：
一、公安机关的重新立案侦查
重新立案侦查的条件：
- 公安机关在发现新的证据后，若认为有犯罪事实需要追究刑事责任，并且该案件符合立案条件，应当自行决定重新立案侦查。新证据应能证明原撤销案件所涉及的行为构成犯罪，或者揭示了新的犯罪事实。
继续侦查并完善证据链条：
- 重新启动侦查后，公安机关需围绕新证据展开深入调查，包括询问新证人、进行鉴定、收集更多物证等，以确保案件事实清楚，证据确实、充分，形成完整的证据链条。
二、检察机关的监督与要求
检察机关的监督职责：
- 检察机关在审查其他案件或履行法律监督职责中，若发现公安机关撤销的案件存在新证据，且认为应追究刑事责任，可要求公安机关说明不立案理由。
检察机关的通知立案：
- 若检察机关认为公安机关的不立案理由不成立，将通知公安机关立案，公安机关必须执行。这是检察机关对公安机关侦查活动的重要监督方式。
三、被害人的权利与要求
被害人的控告权：
- 被害人若发现新证据，认为公安机关撤销案件不当，可向公安机关提出控告，要求重新立案。
公安机关的审查与决定：
- 公安机关应对被害人提出的新证据进行审查，并根据审查结果决定是否重新立案。如决定不立案，需向被害人说明原因。
被害人的复议与申诉权：
- 被害人对公安机关的决定有疑问或不满时，有权申请复议或向人民检察院申诉，以维护自己的合法权益。
四、法律依据与程序
- 根据《公安机关办理刑事案件程序规定》等相关法律法规，经过进一步侦查，若公安机关认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且属于自己管辖范围，应重新制作立案报告书并呈报县级以上公安机关负责人审批。一旦获得批准，即可重新立案侦查。
五、涉案人员与相关当事人的权利
- 涉案人员或相关当事人对公安机关或检察机关的处理有疑问或不满时，有权通过合法途径提出申诉或复议，以维护自己的合法权益。
举例说明：假设一起盗窃案件被检察院监督撤案后，公安机关又发现了新的监控录像，显示犯罪嫌疑人确实实施了盗窃行为。此时，公安机关应当根据新证据重新立案侦查，围绕新证据展开深入调查，以确保案件事实清楚，证据确实、充分。
法律建议：在面对此类情况时，建议涉案人员和相关当事人积极行使自己的权利，通过合法途径维护自身权益。同时，也可以直接向我咨询，以获取更详细的法律建议和帮助。