结论：在没有营业执照且未签劳动合同的情况下，员工和老板的聊天记录在一定条件下可以作为证明劳动关系的证据，但不能单独作为唯一证据，需结合其他证据综合判断。
聊天记录作为证据的条件
明确雇佣关系及工作内容：
- 如果聊天记录中清晰地表明了双方之间存在雇佣关系，并且详细地描述了工作内容等相关事宜，这样的聊天记录就可以作为有力的证据。例如，双方在聊天中明确提及了工作任务、职责等，这有助于证明双方之间存在事实上的劳动关系。
体现劳动报酬支付情况及工作时间安排：
- 当聊天记录能够呈现劳动报酬的支付情况、工作时间安排等关键劳动关系要素时，其证明力会较强。比如，聊天记录中提到了工资数额及发放时间、加班安排等，这些信息对于证明劳动关系至关重要。
聊天记录作为证据的局限性
- 仅靠聊天记录可能存在局限性：
- 尽管聊天记录在某些情况下可以作为证明劳动关系的证据，但仅凭聊天记录往往难以全面证明劳动关系。因为聊天记录可能不够全面，无法涵盖劳动关系的所有方面。例如，它可能无法证明员工实际提供了劳动，或者无法证明劳动的具体内容和时长。
结合其他证据综合判断
- 需结合其他证据：
- 为了更全面地证明劳动关系，除了聊天记录外，还需要结合其他证据进行综合判断。这些证据可以包括工资发放凭证（如银行转账记录、工资条等）、工作场所出入记录（如门禁卡记录、考勤表等）、工作证或工作服、同事的证言等。这些证据可以相互印证，形成完整的证据链，从而更准确地证明劳动关系的存在。
特殊情况说明（私人老板无营业执照）
- 无营业执照不影响劳动关系认定：
- 即使私人老板没有营业执照，也不影响劳动关系的认定。因为劳动关系的认定主要基于双方是否实际提供了劳动和接受了劳动管理，以及是否支付了劳动报酬等事实要素。营业执照只是企业合法经营的凭证，并非认定劳动关系的必要条件。
实际操作建议
尽量收集其他相关证据：
- 在实际中，如果仅有聊天记录作为劳动关系证据，应尽量收集其他相关证据予以佐证。例如，可以要求老板出具相关证明文件（如工作证明、工资证明等），或者寻找同事作为证人提供证言。
保留和整理与工作相关的信息：
- 在日常工作中，应注意保留和整理与工作相关的各种信息，包括聊天记录、工资发放凭证、工作场所出入记录等。这些信息在发生劳动纠纷时可能成为重要的证据。
总结：聊天记录在一定条件下可以作为证明劳动关系的证据，但需结合其他证据综合判断。如果遇到相关问题，可以向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。