针对您提出的“事业单位编制人员抑郁症是否可以请长期病假”的问题，这涉及到多个方面的法律规定和实际操作，以下是我为您提供的详细解答：
一、医疗期的基本规定
首先，我们需要明确医疗期的概念。医疗期是指企业职工（在事业单位同样适用相关劳动法规）因患病或非因工负伤停止工作治病休息，而用人单位不得解除劳动合同的时限。这个时限的长度通常根据职工在本单位的工作年限来确定。
二、抑郁症与医疗期的关系
对于罹患抑郁症的职工，其医疗期的确定需要考虑到疾病的严重程度、治疗情况以及劳动能力的影响。抑郁症作为一种精神类疾病，其病情有轻有重，治疗过程也可能有长期性和间歇性。
正常医疗期：根据一般规定，职工在本单位工作第1年，医疗期为3个月；以后工作每满1年，医疗期增加1个月，但不超过24个月。这是针对一般疾病的情况。
特殊疾病的医疗期延长：对于某些患特殊疾病（如癌症、精神病、瘫痪等）的职工，在24个月内尚不能痊愈的，经企业和劳动主管部门批准，可以适当延长医疗期。但这一规定通常需要满足一定的条件，如经劳动能力鉴定委员会鉴定为完全丧失劳动能力等。
三、抑郁症患者请长期病假的条件
对于抑郁症患者来说，要请长期病假并可能延长医疗期，通常需要满足以下条件：
提供医疗证明：需要由正规医院出具的诊断证明，明确患者患有抑郁症，并需要长期治疗或休息。
劳动能力鉴定：在医疗期满后，如果仍不能从事原工作，可能需要经过劳动能力鉴定委员会的鉴定，以确定是否完全丧失劳动能力或部分丧失劳动能力。这是延长医疗期的重要依据。
单位同意与安排：即使满足上述条件，也需要得到用人单位的同意，并可能需要根据单位的工作安排进行调整。如果单位能够提供适合患者的工作岗位，患者可能需要返岗工作。
四、实际操作中的建议
与单位沟通：首先，建议您与所在单位的人事部门或相关负责人进行沟通，说明您的情况，并咨询单位的病假政策和流程。
提供完整医疗资料：确保您能够提供完整的医疗证明和诊断资料，以便单位了解您的病情和治疗需要。
关注劳动能力鉴定：如果医疗期即将届满，而您仍感觉无法返岗工作，可以考虑申请劳动能力鉴定，以确定您的劳动能力状况。
了解法律法规：熟悉相关的劳动法律法规，确保您的权益得到保障。如果单位在处理您的病假申请时存在违法行为，您可以依法维护自己的权益。
五、结论
综上所述，事业单位编制人员罹患抑郁症后，是否可以请长期病假并延长医疗期，取决于多个因素，包括病情的严重程度、治疗情况、劳动能力的影响以及单位的政策和流程等。因此，建议您与单位进行充分沟通，并提供完整的医疗资料，以便单位能够根据您的实际情况做出合理的安排。同时，也要关注自己的劳动能力状况，并在必要时申请劳动能力鉴定。