结论：在第三人提供房产抵押担保，房产拍卖后，交易税和银行抵押权的优先问题，通常遵循“税收优先于无担保债权，但与有担保债权相比，则需视具体情况而定”的原则。在司法实践中，一般倾向于保护有担保债权（如银行抵押权）的优先受偿权，但这并不意味着交易税可以被完全忽视。具体处理时，需结合相关法律法规及司法实践进行综合判断。

一、法律原则与规定

1. 税收优先权：

   • 根据《税收征收管理法》第四十五条的规定，税务机关征收税款，税收优先于无担保债权，法律另有规定的除外；纳税人欠缴的税款发生在纳税人以其财产设定抵押、质押或者纳税人的财产被留置之前的，税收应当先于抵押权、质权、留置权执行。
   • 这意味着，如果交易税的产生时间早于抵押权的设立，那么税收在清偿顺序上可能具有优先权。

2. 抵押权优先受偿权：

   • 根据《民法典》的相关规定，抵押权人对抵押物享有优先受偿权。在抵押物被拍卖或变卖后，抵押权人有权优先于普通债权人从所得价款中受偿。
   • 银行作为抵押权人，在房产拍卖后，通常有权优先受偿其贷款本金及利息等费用。

二、司法实践中的处理

1. 税收与抵押权并存时的处理：

   • 在司法实践中，当税收与抵押权并存时，法院通常会综合考虑税收的产生时间、抵押权的设立时间以及双方的权益平衡等因素。
   • 如果税收的产生时间早于抵押权的设立，且税收金额较大，法院可能会倾向于保护税收的优先受偿权，但同时也会考虑抵押权人的合法权益，避免对抵押权人造成过大损失。
   • 如果抵押权的设立时间早于税收的产生，或者税收金额相对较小，法院则更可能倾向于保护抵押权人的优先受偿权。

2. 具体案例与司法倾向：

   • 在实际案例中，法院的处理方式可能因具体情况而异。但总体来说，法院会倾向于平衡税收与抵押权之间的权益，确保双方都能得到一定程度的保护。
   • 例如，在某些案例中，法院可能会判决先从拍卖所得中扣除应缴纳的税款，剩余部分再用于清偿抵押权人的债务；或者判决抵押权人优先受偿，但要求抵押权人在受偿后协助税务机关追缴税款。

三、建议与注意事项

1. 对于抵押权人（如银行）：

   • 在设立抵押权时，应尽可能了解抵押物的税务情况，包括是否存在未缴纳的税款等。
   • 在抵押物被拍卖或变卖后，应积极与税务机关沟通，了解税款的缴纳情况，并确保自己的优先受偿权得到保护。

2. 对于税务机关：

   • 应加强对抵押物税务情况的监管，确保在抵押物被拍卖或变卖前，相关税款能够得到及时缴纳。
   • 在与抵押权人协商处理时，应充分考虑双方的权益平衡，避免对任何一方造成过大损失。

3. 对于双方：

   • 在处理此类纠纷时，建议双方积极协商，寻求和解或调解等非诉讼方式解决争议。
   • 如果无法达成和解或调解，应及时向法院提起诉讼，通过司法程序解决争议。

总结：在第三人提供房产抵押担保，房产拍卖后，交易税和银行抵押权的优先问题需结合具体法律法规及司法实践进行综合判断。有问题可以直接向我咨询，我会结合你的具体情况给出更详细的法律建议。