结论前置：当事人可通过提起民事诉讼主张权利，具体可从侵权责任、合同违约、亲子关系确认与否认等角度进行，同时需注意诉讼时效问题。以下为详细分析：

1. 从侵权责任角度主张权利

   • 法律依据：医院在接生过程中，若存在将孩子抱错等过错行为，导致当事人与孩子之间错误地建立了亲子关系，侵犯了当事人的亲权（包括身份权中的监护权、抚养权等）。根据《中华人民共和国民法典》侵权责任编的规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
   • 主张方式：当事人可以医院为被告，向法院提起侵权责任之诉，要求医院承担因侵权行为给当事人造成的损害赔偿责任，包括精神损害抚慰金、因抚养非亲生子女所支出的合理费用（如生活费、教育费、医疗费等）的返还等。在诉讼过程中，当事人需要提供证据证明医院的过错行为与损害结果之间存在因果关系，例如医院的接生记录、相关证人证言等。

2. 从合同违约角度主张权利

   • 法律依据：当事人到医院生孩子，与医院之间形成了一种医疗服务合同关系。医院有义务按照医疗行业的标准和规范，为当事人提供安全、准确的医疗服务，包括正确记录和交付新生儿等。如果医院违反了合同约定，导致孩子被抱错，构成违约行为。根据《中华人民共和国民法典》合同编的规定，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。
   • 主张方式：当事人可以以医院违反医疗服务合同为由，向法院提起诉讼，要求医院承担违约责任，赔偿因违约行为给当事人造成的损失，如精神损害赔偿、为寻找亲生子女所支出的费用等。当事人需要证明与医院之间存在医疗服务合同关系以及医院存在违约行为，例如医疗服务合同、医院的收费凭证等。

3. 关于亲子关系的确认与否认

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》婚姻家庭编的规定，对亲子关系有异议且有正当理由的，父或者母可以向人民法院提起诉讼，请求确认或者否认亲子关系。
   • 主张方式：当事人可以向法院提起亲子关系否认之诉，通过司法鉴定等方式确定自己与孩子之间不存在亲子关系。如果鉴定结果证实孩子不是亲生的，法院将依法作出否认亲子关系的判决。在获得亲子关系否认的判决后，当事人可以基于该判决进一步主张其他权利，如解除与孩子的抚养关系、要求相关责任人承担赔偿责任等。

4. 诉讼时效问题

   • 法律规定：根据《中华人民共和国民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。法律另有规定的，依照其规定。但是，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。
   • 具体分析：在本事件中，虽然孩子出生28年后当事人才发现不是亲生的，但诉讼时效的起算点可能存在多种情况。如果当事人一直不知道权利受到损害，诉讼时效可能从其知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。因此，当事人应及时向法院提起诉讼，以免超过诉讼时效期间而丧失胜诉权。

在处理此类案件时，证据的收集和保存至关重要。当事人应尽可能收集与医院接生过程、亲子关系相关的证据，如医院的病历资料、接生记录、证人证言等。如果还有其他疑问，欢迎继续向我咨询。