结论：妈妈偷东西被抓拘留15天是否会有案底，需视拘留性质而定。如果是行政拘留，则通常不会留下案底；如果是刑事拘留且后续被认定构成犯罪并被判刑，则会留下案底。
分析如下：
行政拘留的情况：
- 定义与性质：行政拘留是对违反治安管理行为人的人身自由限制，属于行政处罚的一种。它主要是为了惩罚和教育违法者，维护社会秩序。
- 是否留案底：行政拘留不属于刑事处罚，因此不会在个人的犯罪记录中留下永久性的痕迹，即通常不会留下案底。
- 法律依据：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第十条，治安管理处罚的种类包括警告、罚款、行政拘留等，行政拘留是其中之一，且明确不属于刑事处罚范畴。
刑事拘留的情况：
- 定义与性质：刑事拘留是公安机关、人民检察院对直接受理的案件，在侦查过程中，遇到法定的紧急情况时，对于现行犯或者重大嫌疑分子所采取的临时剥夺其人身自由的强制方法。
- 是否留案底：如果刑事拘留后，当事人被认定构成犯罪并被判刑，那么就会留下案底。这会对个人的生活、工作、学习等诸多方面产生较为深远的影响。
- 特殊情况：在侦查过程中，如果发现不应当拘留时，会立即释放并发给释放证明，这种情况下也不会留下案底。
- 法律依据：虽然直接的法律条款可能并未明确提及“刑事拘留会留案底”，但根据《中华人民共和国刑法》及相关司法解释，构成犯罪并被判刑的行为会留下犯罪记录，即案底。
建议与后果：
- 了解拘留性质：首先，需要了解妈妈被拘留的具体性质是行政拘留还是刑事拘留。这可以通过向拘留机关咨询或查看拘留通知书来确认。
- 关注后续处理：如果是刑事拘留，需要密切关注案件的后续处理情况，包括是否被起诉、是否被判刑等。
- 法律后果：如果留下案底，可能会对妈妈的就业、社会活动等方面产生限制。例如，某些单位在招聘时可能会因案底而拒绝录用。
总结：妈妈偷东西被抓拘留15天是否会有案底，关键在于拘留的性质。如果是行政拘留，则通常不会留下案底；如果是刑事拘留且后续被认定构成犯罪并被判刑，则会留下案底。因此，建议尽快了解拘留的具体性质，并关注案件的后续处理情况。如果有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。