结论前置：
- 一般情况下，拖欠农民工工资属于劳动纠纷，是民事争议范畴，公安机关通常不会直接介入抓人。
- 特殊情况下，若用人单位或雇主以转移财产、逃匿等方法逃避支付劳动报酬，或有能力支付而不支付，且数额较大，经政府有关部门责令支付仍不支付的，则可能构成拒不支付劳动报酬罪，此时公安机关可依法采取强制措施。
详细分析：
一般情况下的处理方式
- 性质界定：单纯的拖欠农民工工资，通常被视为劳动纠纷，这是民事争议的一种，并不直接涉及刑事犯罪，因此不属于公安机关的直接管辖范围。
- 解决途径：
- 协商：农民工首先可以尝试与用人单位进行友好协商，明确表达支付拖欠工资的诉求。
- 劳动监察投诉：若协商无果，农民工可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位进行调查，并责令其支付拖欠的工资。
- 劳动仲裁与诉讼：如劳动监察未能解决问题，农民工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不满的，还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径来维护自身的合法权益。
特殊情况下可能涉及刑事责任
犯罪构成要件：
- 逃避支付：用人单位或雇主以转移财产、逃匿等方法故意逃避支付劳动者的劳动报酬。
- 有能力而不支付：用人单位或雇主明明有足够的资金或资产来支付工资，但却故意不支付。
- 数额较大：具体数额标准因地区而异，但一般来说，拒不支付一名劳动者三个月以上的劳动报酬且数额在五千元至二万元以上的，或拒不支付十名以上劳动者的劳动报酬且数额累计在三万元至十万元以上的，可能被认定为数额较大。
- 政府责令支付仍不支付：经劳动行政部门等政府有关部门责令支付后，用人单位或雇主仍拒不支付。
处理流程：
- 当用人单位或雇主的行为涉嫌拒不支付劳动报酬罪时，劳动行政部门会将案件移送公安机关。
- 公安机关会按照刑事案件的程序进行侦查，对犯罪嫌疑人采取拘留等强制措施。
- 案件随后进入审查起诉和审判阶段。若罪名成立，根据《刑法》的相关规定，犯罪嫌疑人将面临三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金的刑罚；造成严重后果的，将处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
总结与建议：
在解决农民工工资欠款问题时，应首先尝试通过协商、劳动监察投诉、劳动仲裁与诉讼等合法途径来维权。这些途径通常更为直接、高效，且能够避免不必要的法律纠纷。若用人单位或雇主的行为涉嫌刑事犯罪，即构成拒不支付劳动报酬罪，则应依法追究其刑事责任，以确保公正、公平地维护农民工的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。