给未成年纹身，一般由市场监督管理部门或卫生健康部门负责，具体取决于纹身机构的性质。以下是详细分析：

一、市场监督管理部门负责的情况

如果纹身机构是个体工商户，且持有营业执照但未取得《医疗机构许可证》，那么该机构给未成年纹身，应由市场监督管理部门进行处罚。这是因为该个体工商户不属于正规的医疗机构，其业务活动更多地与市场经营有关，因此市场监管部门有责任对其进行监管和处罚。

二、卫生健康部门负责的情况

如果纹身机构是医疗机构，且持有《医疗机构许可证》，那么该机构给未成年纹身，应由卫生健康部门进行处罚。这是因为该机构属于医疗领域，相关的监管职责通常由卫生健康部门承担。

三、法律依据与处罚措施

• 法律依据：根据《山东省未成年人保护条例》第七十七条的规定，违反本条例规定，向未成年人提供纹身服务的，由市场监督管理、卫生健康等部门按照职责分工责令改正，给予警告，并处一万元以上三万元以下罚款；拒不改正或者造成严重后果的，责令停业整顿，并处三万元以上三十万元以下罚款；有违法所得的，没收违法所得。
• 处罚措施：对于违规给未成年纹身的机构，相关部门将依法进行处罚，包括警告、罚款、没收违法所得以及责令停业整顿等。

四、特殊情况与注意事项

• 监护人同意无效：即使监护人同意未成年纹身，该行为也有明显过失，需承担法律责任，如道歉、支付清除费用等。因为未成年人在法律上属于限制民事行为能力人，不能自行决定人身、财产等权益。
• 投诉举报渠道：社会大众如发现有向未成年人提供纹身服务的，可向市场监管部门投诉举报，投诉举报电话一般为12315。

建议：为了保护未成年人的身心健康，避免其受到不必要的伤害，社会各界应共同努力，加强对纹身机构的监管，严禁向未成年人提供纹身服务。同时，家长也应加强对未成年人的教育和引导，提高其自我保护意识。如果您遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律建议。