民营医院聘用退休人员但未签合同，医院是有权解聘该退休人员的，但需注意解聘的方式和可能承担的责任。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律关系角度
劳动关系与劳务关系的区别：
- 通常情况下，劳动者达到法定退休年龄并开始享受基本养老保险待遇的，与用人单位之间的劳动关系终止，双方转为劳务关系。
- 在劳务关系中，双方的权利义务主要通过合同来约定，若未签订合同，则可能依据《民法典》中关于合同的一般规定以及双方的实际履行情况来确定。
未签合同的影响：
- 未签订书面合同，并不意味着双方之间不存在劳务关系。只要退休人员实际为医院提供了劳务，且医院接受了该劳务，双方之间即形成了事实上的劳务关系。
- 但未签合同可能导致双方在权利义务的约定上存在不明确，增加解聘时的争议风险。
二、解聘的合法性
解聘的合法性基础：
- 在劳务关系中，医院作为接受劳务的一方，有权根据自身的经营需要和劳务提供者的表现，决定是否继续聘用。
- 若医院决定解聘退休人员，且解聘行为不违反法律法规的强制性规定（如不因年龄、性别、种族等歧视性原因解聘），则解聘行为是合法的。
解聘的程序和注意事项：
- 尽管未签合同，医院在解聘时仍应遵循公平、合理的原则，避免给退休人员造成不必要的损失。
- 医院最好能提前通知退休人员，并说明解聘的原因和依据，以便退休人员有足够的时间准备和应对。
- 若因解聘引发争议，医院可能需要承担举证责任，证明其解聘行为的合法性和合理性。
三、可能承担的责任
经济补偿责任：
- 在劳动关系中，若用人单位违法解除劳动合同，可能需要支付经济补偿金或赔偿金。但在劳务关系中，通常不存在这样的经济补偿责任。
- 然而，如果医院在解聘过程中存在过错（如无故解聘、解聘程序不合法等），且给退休人员造成了实际损失，医院可能需要承担相应的赔偿责任。
其他法律责任：
- 若医院在解聘过程中存在违法行为（如侮辱、诽谤退休人员等），还可能承担侵权责任等。
四、建议
签订书面合同：
- 为避免争议和风险，医院在与退休人员建立劳务关系时，最好能签订书面合同，明确双方的权利义务、工作内容、报酬、解聘条件等。
合法合规解聘：
- 医院在解聘退休人员时，应确保解聘行为合法合规，避免给自身带来不必要的法律风险。
及时沟通协商：
- 若在解聘过程中出现争议或问题，医院应及时与退休人员进行沟通协商，寻求妥善解决方案。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供更详细、更专业的法律建议。