关于军队幼儿园老师签订无固定期限劳动合同后是否享有住房资格的问题，结论需分情况讨论，具体如下：

1. 住房资格与劳动合同类型无直接关联
   根据现行法律法规，住房资格（如军队公寓住房、经济适用房等）的分配通常与单位内部住房政策、军人/文职人员身份、职级、工龄、家庭情况等因素相关，而非单纯由劳动合同类型（固定期限/无固定期限）决定。例如，军队幼儿园教师若属于军队文职人员或聘用制职工，其住房资格需依据《军队文职人员住房保障规定》或单位具体政策执行，与是否签订无固定期限合同无关。

2. 需核查单位具体住房政策

   • 若单位政策明确住房资格与合同类型挂钩（如规定“签订无固定期限合同者可优先分配住房”），则可能影响资格。但此类政策需符合法律法规，且通常需以书面形式明确。
     
   • 若单位政策未作此规定，则住房资格应基于其他条件（如职级、工龄等），与合同类型无关。
     建议：向单位人事部门或住房管理办公室核实具体政策，并要求提供书面依据。

3. 特殊身份需单独考量

   • 若为军队文职人员：根据《军队文职人员管理条例》，文职人员住房保障包括公寓住房、租金补贴或购买经济适用房等，资格与文职身份、职级等相关，与劳动合同类型无关。
     
   • 若为聘用制职工：需依据单位与个人签订的聘用合同及内部住房政策确定资格。若合同中未约定住房条款，则单位不得以合同类型为由限制住房权益。

4. 法律风险提示

   • 单位不得违法设置住房资格条件：根据《劳动法》《劳动合同法》，用人单位不得在住房分配等福利中设置与劳动合同无关的歧视性条件。若单位以“未签订无固定期限合同”为由剥夺住房资格，可能涉嫌违法。
     
   • 维权途径：若认为单位政策违法，可向单位上级部门反映，或通过劳动仲裁、诉讼主张权益。

行动建议：

1. 优先向单位人事或住房管理部门咨询具体政策，要求提供书面文件；
   
2. 核对自身身份（文职/聘用制）及职级、工龄等条件是否符合住房资格；
   
3. 若发现单位政策违法，可收集证据（如政策文件、同事证言等）并咨询律师进一步维权。
   

如有其他细节需补充或进一步分析，欢迎随时向我咨询。