结论：因犯错误监外执行回来后，在私人企业能否继续上班，需结合具体情况判断，主要涉及劳动合同的履行、用人单位规章制度的约束以及相关法律法规的规定。以下分情况详细说明：

1. 劳动合同的继续履行
   根据《劳动合同法》的相关规定，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可以解除劳动合同。但“监外执行”通常指暂予监外执行，属于刑罚执行方式的一种，并不等同于“被依法追究刑事责任”后的必然解除劳动合同情形。若劳动合同中未明确约定“被监外执行”为解除合同的事由，且劳动者能够继续履行劳动合同（如提供正常劳动、遵守规章制度），用人单位一般不得单方解除合同。因此，在劳动合同未明确约定解除事由且劳动者能正常履职的情况下，可以继续上班。

2. 用人单位规章制度的约束
   若用人单位的规章制度中明确规定“被监外执行”属于严重违反规章制度的行为（如涉及道德、诚信或岗位特殊要求），且该制度已通过民主程序制定并公示，用人单位可能依据《劳动合同法》第三十九条解除劳动合同。但需注意，规章制度的合法性需经审查，若规定过于宽泛或缺乏合理性（如仅因监外执行本身而解除），可能被认定为违法解除。因此，若规章制度合法且明确约定解除事由，用人单位可能解除合同；反之，则需继续履行合同。

3. 岗位特殊性的影响
   对于涉及国家安全、公共安全或高度保密的岗位（如财务、安保、核心技术岗位），用人单位可能以“劳动者不符合岗位条件”为由解除合同。例如，若监外执行涉及经济犯罪，而岗位为财务，用人单位可能主张劳动者存在诚信风险。但此类解除需有充分证据支持，且需符合比例原则（即解除是唯一合理措施）。因此，在岗位与犯罪行为存在直接关联时，用人单位可能解除合同；若无直接关联，则需继续履行。

4. 劳动者权利的保护
   即使被监外执行，劳动者仍享有平等就业权。用人单位不得因劳动者曾受刑事处罚（包括监外执行）而歧视性拒绝录用或解除合同，除非法律明确禁止（如特定职业资格限制）。若用人单位无正当理由解除合同，劳动者可主张违法解除赔偿金（按经济补偿标准的二倍计算）。因此，劳动者有权要求继续履行合同或主张赔偿，具体需结合解除合法性判断。

建议：

• 若用人单位未明确解除合同，劳动者可主动沟通，表明继续履职的意愿，并遵守规章制度；
  
• 若用人单位以监外执行为由解除合同，劳动者可要求用人单位出具书面解除通知，并审查解除依据的合法性；
  
• 必要时，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护合法权益。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合具体案情提供详细解答。