关于被留置人员在生日当天是否可以和家属通话的问题，这主要取决于留置场所的具体管理规定以及当前的通话政策。

首先，需要明确的是，留置是一种法律措施，通常用于对涉嫌违法犯罪的人员进行调查和审查。在留置期间，被留置人员的通信自由会受到一定的限制，这是为了确保调查的顺利进行和防止信息泄露。

针对您提到的生日当天是否可以通话的问题，我并未在提供的参考信息中找到直接相关的规定。不过，从一般的留置管理规定来看，通话的安排通常是由留置场所根据调查需要、被留置人员的表现以及通话政策来决定的，而不是基于特定的日期（如生日）来安排。

此外，参考信息中提到的是广东省广州女子监狱关于亲情电话视频通话的预约模式，这主要针对的是服刑人员，而非被留置人员。服刑人员和被留置人员在法律地位和管理规定上存在差异，因此不能直接将服刑人员的通话政策套用到被留置人员身上。

综合以上分析，我无法直接给出被留置人员在生日当天是否可以和家属通话的明确答案。这取决于留置场所的具体管理规定和当前的通话政策。如果您想了解更具体的信息，建议您直接联系留置场所的管理部门或咨询相关法律专业人士。

同时，我也希望您能理解，留置措施的实施是为了维护法律的公正和社会的稳定，被留置人员在留置期间需要遵守相关的管理规定，配合调查工作。家属也可以通过合法途径了解被留置人员的情况，并为其提供必要的支持和帮助。