结论：上门检查煤气的工作人员不肯留电话姓名，反而强行要求提供电话的行为，其合法性需根据具体情况判断，但通常这种行为可能涉及侵犯个人隐私权或违反相关行政程序规定，因此很可能不合法。
一、从个人隐私权角度分析
个人隐私权保护：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人的个人信息受法律保护，任何组织或者个人不得非法收集、使用、加工、传输他人个人信息，不得非法买卖、提供或者公开他人个人信息。
- 煤气检查人员强行要求提供电话，若未经同意且无正当理由，可能构成对个人隐私权的侵犯。
合法收集信息的条件：
- 即便煤气公司或相关部门需要收集用户信息以进行安全检查或后续服务，也应遵循合法、正当、必要的原则，并明确告知用户收集信息的目的、方式和范围，取得用户的同意。
- 若检查人员未遵循这些原则，强行要求提供电话，则可能违反法律规定。
二、从行政程序规定角度分析
行政检查程序：
- 煤气检查通常属于行政检查范畴，应遵循相关的行政程序规定。
- 行政机关在进行检查时，应出示合法证件，表明身份，并告知检查的目的、依据和范围。
- 若检查人员未出示证件或未表明身份，反而强行要求提供电话，则可能违反行政程序规定。
合法性与合理性：
- 即便检查人员有权进行煤气检查，但其行为方式也应合法、合理。
- 强行要求提供电话，而不愿透露自己的身份和检查目的，这种行为方式缺乏合法性和合理性，可能引发用户的质疑和不满。
三、建议与应对措施
要求出示证件：
- 用户有权要求检查人员出示合法证件，以确认其身份和检查权限。
拒绝非法要求：
- 若检查人员无法出示证件或不愿透露身份，用户有权拒绝其非法要求，如强行提供电话。
投诉与举报：
- 若检查人员的行为涉嫌违法或侵犯个人隐私权，用户可以向相关部门投诉或举报，以维护自己的合法权益。
咨询专业律师：
- 若用户对此事有进一步疑问或需要法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和建议。
总结：上门检查煤气的工作人员不肯留电话姓名，反而强行要求提供电话的行为，很可能不合法。用户应保护自己的个人隐私权，要求检查人员出示证件并表明身份，拒绝非法要求，并在必要时向相关部门投诉或举报。如有任何法律疑问或需要帮助，可以直接向我咨询。