当伤情鉴定补充资料被被告方不认可，并在法院质证后，处理方式主要取决于被告方不认可的具体理由及证据情况。以下是对此问题的详细解答：

一、被告方有合理理由及证据不认可

若被告方能够提出合理理由及证据，证明伤情鉴定可能存在问题，例如：

1. 鉴定机构或人员无资质：如果鉴定机构或鉴定人员不具备相应的鉴定资质，那么其出具的鉴定报告可能不具备法律效力。
2. 鉴定程序违法：如果鉴定过程中存在程序违法的情况，如未按照法定程序进行鉴定、未充分听取双方意见等，也可能影响鉴定结果的公正性。
3. 鉴定结论明显依据不足：如果鉴定结论缺乏充分的科学依据或逻辑推理，被告方有权提出异议。

在这种情况下，被告方有权向法院申请重新鉴定。法院在审查被告方的申请及证据后，如果认为理由成立，通常会准许重新鉴定。重新鉴定一般由法院指定更具权威性的鉴定机构进行，以确保鉴定结果的公正性和准确性。

二、被告方无合理理由及证据不认可

如果被告方只是单纯不认可伤情鉴定结果，但提不出合理理由和证据，那么根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》，其异议难以得到法院的支持。在这种情况下，原鉴定结果依然有效，可以作为法院判决的依据。

三、对重新鉴定结果仍有争议

如果双方对重新鉴定结果仍有争议，可以在庭审中进行质证。此时，鉴定人可能需要出庭作证，就鉴定过程、鉴定依据等问题进行说明。法官会结合全案证据，包括双方提供的证据、鉴定报告等，综合判断鉴定结果的证明力，并据此作出判决。

四、建议与注意事项

1. 确保鉴定程序合法合规：在进行伤情鉴定时，应确保鉴定机构具备相应资质，鉴定程序合法合规，以避免因程序问题导致鉴定结果被质疑。
2. 妥善保存鉴定相关材料：包括病历、检查报告、鉴定报告等，以备不时之需。这些材料在质证过程中可能起到关键作用。
3. 积极应对重新鉴定申请：如果被告方提出重新鉴定申请，应积极应对，提供必要的材料和信息，配合重新鉴定的相关程序。
4. 寻求专业法律帮助：在处理此类纠纷时，建议寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到充分维护。

综上所述，当伤情鉴定补充资料被被告方不认可并在法院质证后，处理方式主要取决于被告方不认可的具体理由及证据情况。法院会根据实际情况作出相应判断，并确保鉴定结果的公正性和准确性。