丈夫去世后，自己的孩子可以与私生子进行亲子鉴定。以下从法律角度进行详细分析：
一、亲子鉴定的法律依据与权利
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女（即私生子）与婚生子女享有同等的权利，包括继承权。这一规定为亲子鉴定提供了法律基础，因为亲子鉴定是确定亲子关系、进而确定继承权等法律权益的重要手段。
权利行使：
- 在丈夫去世后，如果存在关于私生子身份的争议，自己的孩子作为潜在的法定继承人，有权要求通过亲子鉴定来确认或否认与私生子的亲子关系。这种权利的行使，旨在保护自己的合法权益，避免因私生子身份的不明确而导致的财产分配纠纷。
二、亲子鉴定的实施与必要性
实施方式：
- 亲子鉴定通常需要在专业的鉴定机构进行，以确保鉴定结果的准确性和公正性。在实施过程中，应遵循相关的法律法规和程序要求，确保所有参与方的权益得到保护。
必要性：
- 在丈夫去世后，如果涉及财产分配或继承问题，亲子鉴定成为确定私生子身份、进而确定继承权的关键证据。没有明确的亲子关系证明，私生子的继承权可能无法得到保障，同时也可能引发其他法定继承人之间的纠纷。
三、亲子鉴定的法律后果与注意事项
法律后果：
- 如果亲子鉴定结果确认了私生子与自己的孩子之间的亲子关系，那么私生子将依法享有与婚生子女同等的继承权。这将影响财产的分配和继承顺序。
- 如果亲子鉴定结果否认了亲子关系，那么私生子将无法享有相应的继承权，其法律地位将受到相应影响。
注意事项：
- 在进行亲子鉴定前，应充分考虑所有参与方的意愿和感受，避免因此引发不必要的家庭矛盾或法律纠纷。
- 亲子鉴定结果应作为解决争议的参考依据，而非唯一依据。在处理相关问题时，还应综合考虑其他证据和因素，如遗嘱、法定继承顺序等。
四、实际操作建议
协商与沟通：
- 在决定进行亲子鉴定前，建议与所有相关方进行充分的协商和沟通，了解各自的意愿和诉求，寻求共识和解决方案。
选择专业机构：
- 选择具有合法资质和良好信誉的专业鉴定机构进行亲子鉴定，以确保鉴定结果的准确性和公正性。
法律咨询与援助：
- 在处理相关问题时，如遇到法律困惑或纠纷，建议及时咨询专业律师并寻求法律援助，以维护自己的合法权益。
如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。