结论前置：没签劳动合同但受伤后，公司提出签订劳务合同，这一行为需谨慎对待，不能直接简单判定是否可以签订，需结合多方面因素综合考量。
一、劳务合同与劳动合同的本质区别
- 劳务合同：是平等主体间就劳务提供及报酬给付达成的协议，重点在于劳务的提供。在劳务关系中，提供劳务者通常需自行承担工作过程中的风险，如受伤等。
- 劳动合同：是用人单位与劳动者之间确立劳动关系，明确双方权利义务的协议。在劳动关系中，劳动者在工作过程中遭受事故伤害或患职业病，用人单位需承担相应的工伤责任。
二、受伤后公司提出签订劳务合同的考量因素
权益保障：
- 若签订劳务合同：您将作为劳务提供者，而非劳动者，这意味着您可能无法享受与劳动合同相关的权益，如工伤保险、病假工资等。一旦在工作中受伤，您可能需要自行承担医疗费用和相关损失。
- 若不签订劳务合同，而保持事实劳动关系：您仍有权申请工伤认定，并享受相应的工伤保险待遇。关键在于您能否提供充分证据证明与用人单位的事实劳动关系。
合同条款：
- 在签订劳务合同前，务必仔细审查合同条款，确保没有不合理或违法的条款，如排除公司工伤责任、不合理限制您权利或大幅度降低劳动报酬标准等。
- 若合同中存在此类条款，您有权拒绝签订，并考虑通过法律途径维护自己的权益。
公司动机：
- 公司提出签订劳务合同，可能是为了规避工伤责任或其他法律义务。您需要警惕公司的这一动机，并谨慎评估签订合同可能带来的风险。
三、建议与操作流程
收集证据：
- 无论是否签订劳务合同，您都应尽快收集能够证明与用人单位事实劳动关系的证据，如工资支付记录、社保缴费记录、工作证、服务证、考勤记录以及其他劳动者的证言等。
申请工伤认定：
- 若您选择不签订劳务合同，并希望享受工伤保险待遇，您应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 申请时，需准备工伤认定申请表、证明与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的材料以及医疗机构出具的受伤后诊断证明书或职业病诊断证明书（或鉴定书）。
咨询与决策：
- 在做出是否签订劳务合同的决定前，建议您咨询专业的法律人士（即我本人，殷翰卿律师），以充分了解自己的权益和可能面临的风险。
- 根据咨询结果和自身情况，做出明智的决策。
四、可能的法律后果
- 若签订劳务合同：您可能需要自行承担工作中的风险和损失，无法享受工伤保险待遇。同时，若合同中存在不合理条款，您可能面临更大的法律风险。
- 若不签订劳务合同，而保持事实劳动关系：您有权申请工伤认定，并享受相应的工伤保险待遇。但需注意，若无法提供充分证据证明事实劳动关系，您可能面临工伤认定困难的问题。
总结：没签劳动合同但受伤后，公司提出签订劳务合同，这一行为需谨慎对待。在做出决定前，您应充分了解自己的权益和可能面临的风险，并咨询专业的法律人士。根据自身情况和咨询结果，做出明智的决策。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。