如果在公交车上因司机急刹车而摔伤，您可以按照以下步骤来处理和维权：
一、现场处理与证据收集
确保安全：首先，要确保自己的安全，避免在慌乱中造成二次伤害。如果可能，移动到相对安全的位置。
记录现场：如果条件允许，可以用手机拍摄现场照片或视频，记录下公交车内的环境、急刹车时的情景以及自己的伤势情况。这些证据在后续维权过程中可能会起到关键作用。
寻找证人：寻找车上的其他乘客作为证人，他们的证言可以支持您的主张。如果可能，请他们留下联系方式，以便后续需要时能够联系到他们。
及时就医：无论伤势轻重，都应尽快前往医院进行检查和治疗。就医记录是证明您受伤情况和治疗费用的重要证据。
二、与公交公司协商
联系公交公司：在就医后，及时联系公交公司，告知他们您的情况，并要求他们对此事进行调查和处理。
提出赔偿要求：根据您的伤势和治疗情况，向公交公司提出合理的赔偿要求，包括医疗费、误工费、护理费、交通费等。如果因伤势导致残疾，还可以要求赔偿残疾生活辅助具费和残疾赔偿金。
协商解决：尝试与公交公司进行协商，看是否能够达成一致的赔偿方案。在协商过程中，要保持冷静和理性，避免情绪化。
三、法律途径维权
收集证据：如果与公交公司的协商无果，您需要收集更多的证据来支持您的主张。这包括就医记录、证人证言、现场照片或视频等。
咨询律师：在提起诉讼前，建议咨询专业的律师，了解您的法律权益和可能的赔偿范围。律师可以为您提供专业的法律建议和指导。
提起诉讼：如果协商和调解都无法解决问题，您可以向人民法院提起诉讼，要求公交公司承担赔偿责任。在诉讼过程中，您需要提交相关证据来证明公交公司的违约行为和您的损失情况。
四、法律依据与责任界定
根据《中华人民共和国民法典》第八百二十三条的规定：“承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任，但是伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。”在公交车急刹车导致乘客受伤的情况下，除非公交公司能够证明乘客的受伤是由于乘客自身健康原因或故意、重大过失造成的，否则公交公司应承担相应的赔偿责任。
五、后续处理与建议
关注赔偿进展：在提起诉讼后，要关注案件的进展情况，及时与律师和法院沟通。
考虑调解：在诉讼过程中，如果双方都有意愿，可以考虑通过调解来解决问题。调解可以更快地达成赔偿协议，减少诉讼时间和成本。
加强安全意识：此次事件也提醒我们，在乘坐公交车时要加强安全意识，抓好扶手，避免在急刹车时摔倒受伤。
总之，如果在公交车上因司机急刹车而摔伤，您应首先确保自己的安全并收集证据，然后与公交公司协商赔偿事宜。如果协商无果，可以通过法律途径来维权。在整个过程中，要保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。