不给员工开解除劳动合同证明是违法的。以下从法律义务、违法后果及维权途径三个方面进行详细分析：
一、法律义务
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位在解除或终止劳动合同时，必须出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这是用人单位的法定义务，旨在保障劳动者的合法权益，确保他们离职后能够顺利办理相关手续，如再就业、领取失业保险金、社保关系转移等。
二、违法后果
如果用人单位违反法律规定，未向劳动者出具解除或者终止劳动合同的书面证明，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十九条，劳动行政部门将责令其改正；若给劳动者造成损害，用人单位还需承担赔偿责任。具体来说，可能给员工造成的损害包括：
- 再就业困难：新用人单位在录用时往往要求提供上一家单位的解除劳动合同证明。若原公司未出具，可能导致员工无法顺利入职新单位，从而遭受工资收入损失。在此情况下，原公司需承担相应赔偿责任。
- 无法领取失业保险金：领取失业保险金的条件之一是需要有用人单位出具的解除劳动合同证明。若因公司未开具证明导致员工无法领取，公司需赔偿员工因此遭受的失业保险待遇损失。
- 社保缴纳问题：新单位需依据解除劳动合同证明为劳动者办理社保增员手续。无此证明，社保关系无法顺利转移，可能导致社保断缴，进而影响劳动者享受医保、养老等社保待遇。
三、维权途径
如果用人单位拒绝开具解除劳动合同证明，劳动者可以通过以下途径来维护自己的合法权益：
与公司沟通协商：
- 首先尝试与公司的人力资源部门或相关负责人进行沟通，明确指出公司有义务出具解除合同证明，并告知其不出具可能面临的法律后果。
- 如果口头沟通无果，可以提交书面申请，明确说明离职时间、职位以及要求开具证明的具体原因和用途。
向劳动行政部门投诉：
- 若公司拒绝开具证明，劳动者可以向当地的劳动监察大队投诉。
- 劳动监察大队会依法进行调查核实，责令公司限期改正。
申请劳动仲裁：
- 若公司仍拒绝改正且给员工造成了实际损害，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 在仲裁过程中，劳动者需要提供相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、与公司沟通的记录等，以证明双方存在劳动关系及公司解雇的事实。
提起诉讼：
- 如果对仲裁结果不满意，劳动者可以在规定的期限内向人民法院提起诉讼。
- 通过司法途径维护自己的合法权益，包括要求公司出具解除合同证明及赔偿因未出具证明而造成的损失。
寻求法律援助：
- 在必要时，劳动者可以寻求专业律师的法律援助。
- 律师可以帮助评估案件的可行性，提供法律建议，并代表劳动者与公司进行协商或提起诉讼。
综上所述，不给员工开解除劳动合同证明是违法的，劳动者应依法维护自己的权益。如果你遇到了类似的问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。