当乘客因出租车驾驶员的事故而决定通过法律途径维护自身权益时，可以遵循以下详细步骤来处理：

一、证据收集与责任认定

1. 事故现场证据：

   • 立即拍摄事故现场照片、视频，记录车辆位置、受损情况、路面状况及交通标志等。
   • 如有目击者，尽量获取其联系方式，以便后续作证。

2. 官方文件：

   • 及时向处理事故的交警大队申请《交通事故责任认定书》，这是划分事故责任的关键依据。

3. 医疗资料：

   • 保留所有就诊医院的病历、诊断证明、检查报告及费用清单，以证明伤害程度及治疗费用。

4. 收入与误工证明：

   • 向单位申请误工证明及收入减少证明，用于计算误工费。

5. 交通与乘车凭证：

   • 保留出租车发票、网约车行程单等，以证实客运合同关系及交通费用。

二、明确起诉对象与法律依据

1. 起诉对象：

   • 出租车司机（直接侵权人）
   • 出租车公司（可能承担雇主责任或挂靠单位连带责任）
   • 其他肇事方（如第三方车辆驾驶员）
   • 保险公司（交强险和商业险承保机构）

2. 法律依据：

   • 侵权责任：若事故由其他车辆过错导致，乘客可依据《民法典》等相关法律规定，起诉肇事方及其保险公司主张侵权损害赔偿。
   • 违约责任：乘客与出租车公司存在客运合同关系，若因出租车公司或司机过错导致事故，乘客可依据《合同法》等规定，向出租车公司主张违约责任。

三、起诉准备与管辖法院选择

1. 起草起诉状：

   • 详细陈述事故经过、损失情况及诉讼请求，明确原被告信息、事实与理由。

2. 管辖法院选择：

   • 一般可选择事故发生地或被告住所地的基层人民法院提起诉讼。

3. 提交材料：

   • 将起诉状、证据材料等一式多份提交至法院立案庭，等待审查与受理。

四、积极参与诉讼过程

1. 开庭前准备：

   • 熟悉案件事实，整理证据原件，准备法庭调查与辩论。

2. 庭审参与：

   • 如实陈述事故经过，积极举证、质证，围绕争议焦点进行辩论。
   • 争议焦点可能包括责任比例认定、赔偿标准适用、保险公司免责条款效力等。

3. 调解建议：

   • 在法官主持下，可与被告协商赔偿方案，以达成和解。

五、判决执行与后续

1. 等待判决：

   • 法院审理后将作出判决，乘客需关注判决书内容。

2. 判决执行：

   • 若判决生效后被告不履行赔偿义务，乘客可向法院申请强制执行，通过法律手段保障权益实现。
   • 注意两年申请执行时效限制。

3. 赔偿项目计算：

   • 根据实际损失，计算医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金、精神抚慰金等各项赔偿。
   • 例如，十级伤残的残疾赔偿金可能按照受诉法院上一年度城镇居民人均可支配收入×20年×10%来计算。

六、注意事项

• 诉讼时效：交通事故损害赔偿的诉讼时效一般为三年，自知道或应当知道权利被侵害之日起计算。乘客需及时提起诉讼，以避免丧失胜诉权。
• 法律咨询：在诉讼过程中，如有需要，可咨询专业律师以获取更详细的法律建议。

综上所述，乘客在乘车发生交通事故后，应冷静应对，按照上述步骤有序操作，以确保自身合法权益得到有效维护。