当面临劳动仲裁中一方申请执行而另一方起诉的情况时，这确实是一个涉及法律程序和纠纷解决机制的复杂问题。以下是我为您提供的详细解答：
一、理解仲裁与诉讼的优先性
仲裁协议的优先性：
- 如果双方之前签订了有效的仲裁协议，那么仲裁通常具有优先性。这意味着，如果一方已经根据仲裁协议申请了仲裁，而另一方却向法院提起诉讼，法院在审查后，如果发现存在有效的仲裁协议，通常会裁定不予受理诉讼申请，并告知当事人通过仲裁解决纠纷。
无仲裁协议的情况：
- 如果没有仲裁协议，或者仲裁协议被认定为无效，那么一方申请仲裁而另一方申请诉讼的情况就可能发生。由于仲裁和诉讼是两种不同的纠纷解决方式，且程序不同（仲裁实行一裁终局，诉讼实行两审终审），它们通常难以并行。
二、处理一方申请执行而另一方起诉的情况
诉讼立案在先：
- 如果诉讼立案在先，且法院对案件有管辖权，那么法院一般会继续审理该案件。此时，仲裁申请可能会被暂停或中止，直到法院作出最终判决。
仲裁立案在先：
- 如果仲裁立案在先，法院会审查仲裁协议的效力。如果仲裁协议无效，法院可以继续审理诉讼案件；如果仲裁协议有效，法院应裁定驳回起诉，并告知当事人通过仲裁解决纠纷。
积极应对诉讼：
- 如果对方因不服仲裁裁决而起诉，这属于正常的司法救济途径。此时，您应积极应对，认真研读对方的起诉状，了解其诉求和理由。按照法院要求的期限提交答辩状，阐述自己的看法和事实依据。同时，准备好相关证据，包括仲裁阶段已有的证据和新发现的证据。
三、劳动仲裁执行期间的注意事项
明确起诉性质：
- 在劳动仲裁执行期间，如果遭遇起诉，首先要明确起诉的性质。如果是对方因不服仲裁裁决而起诉，这是正常的司法救济途径，您应积极应对。
遵循诉讼程序：
- 遵循民事诉讼程序规则，按时出庭，充分行使诉讼权利。在庭审过程中，要清晰、准确地陈述自己的观点和事实依据，争取公正裁决。
关注执行进度：
- 密切关注劳动仲裁的执行进度和法院的各项通知。如果仲裁裁决得到执行，那么诉讼案件可能会因此而受到影响。如果仲裁裁决未能得到执行，您可能需要考虑向法院申请强制执行。
四、建议与总结
- 咨询专业律师：面对复杂的法律程序和纠纷解决机制，建议您咨询专业律师的意见。律师可以根据您的具体情况，提供针对性的法律建议和解决方案。
- 保持沟通与合作：在处理此类纠纷时，保持与对方、仲裁机构和法院的沟通与合作至关重要。这有助于及时了解案件进展，避免不必要的误解和冲突。
- 准备充分证据：无论是在仲裁还是诉讼过程中，准备充分的证据都是至关重要的。这有助于支持您的观点和诉求，增加胜诉的可能性。
综上所述，当面临劳动仲裁中一方申请执行而另一方起诉的情况时，您应首先明确仲裁协议的效力以及程序的先后顺序。然后，根据具体情况积极应对诉讼或仲裁程序，并密切关注案件的进展和法院的通知。如有需要，及时咨询专业律师的意见以获取更具体的法律建议。