针对您提出的“办理退休时劳动合同丢失，是否可以让原单位补办”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，明确结论：即使劳动合同丢失且单位拒绝补办，您依然可以通过其他方式证明劳动关系并顺利办理退休手续。

接下来，我为您梳理了几个具体的解决步骤和建议：

1. 与原单位沟通协商：

   • 您可以首先尝试与原单位进行诚恳、理性的沟通，说明劳动合同对于办理退休手续的重要性，并请求单位提供劳动合同的复印件或重新出具一份。
   • 如果直接沟通无果，您可以向单位的人力资源管理部门、工会或上级领导反映情况，请求他们介入协调，看是否能够促成问题的解决。

2. 利用其他证据证明劳动关系：

   • 在无法获得单位补办的劳动合同时，您可以积极收集其他能够证明与单位劳动关系的证据。这些证据包括但不限于：工资支付记录（如银行工资流水明细）、社保缴纳记录、工作证、服务证等身份证明、考勤记录、同事证言或离职员工的证明、劳动者工作内容的证据（如电子文本、公司资料等）、公司相关的标识（如工作信签、员工牌等）、公司制度依据（如员工手册、财务制度等）以及与公司领导或正式员工的交流资料（如工作安排、书面通知等）。
   • 这些证据在办理退休手续时同样具有法律效力，能够作为您与单位存在劳动关系的有效证明。

3. 查询劳动行政部门备案记录：

   • 部分地区的劳动行政部门要求用人单位将劳动合同进行备案。您可以尝试到当地劳动行政部门查询是否有您的劳动合同备案记录，这有可能为您提供一份官方的劳动合同证明，从而简化办理退休手续的流程。

4. 申请劳动仲裁或提起诉讼：

   • 如果单位拒绝提供劳动合同且无法通过其他方式证明劳动关系，您可以根据相关法律法规向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求单位提供劳动合同或确认劳动关系。在仲裁过程中，您需要积极配合并提供所收集的证据。
   • 如果劳动仲裁未能解决问题或对仲裁结果不满意，您还可以根据法律规定向人民法院提起诉讼，要求单位承担相应的法律责任。在诉讼过程中，提供更充分的证据来支持自己的诉求是至关重要的。

5. 寻求劳动行政部门的帮助：

   • 在整个过程中，您也可以向劳动行政部门反映单位不补办劳动合同的问题，请求他们依法对单位进行监督和检查。劳动行政部门有权责令单位改正违法行为，并依法履行相关义务，从而保障您的合法权益。

综上所述，面对劳动合同丢失且单位不补办的情况，您不必过于担心。通过上述多种途径和措施，您完全有能力维护自己的合法权益，并确保顺利办理退休手续。希望这些建议能够对您有所帮助。