未签订劳动合同且被工厂开除的劳动者，有权获得双倍工资差额、违法解除劳动合同的赔偿金，以及其他可能的权益。以下是对各项权益的详细解释及计算方式：
一、双倍工资差额
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算方式：
- 起算时间：从用工满一个月的次日起开始计算。
- 截止时间：至补订书面劳动合同的前一日或劳动关系终止（解除）前一日，但最长不超过11个月。
- 具体金额：以劳动者实际获得的月工资为基数，计算应得的双倍工资差额部分。例如，若月工资为5000元，工作了8个月未签合同，则双倍工资差额为 \(5000 \text{元/月} \times 7 \text{个月} = 35000 \text{元}\)（第一个月不计算在内）。
二、违法解除劳动合同的赔偿金
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 计算方式：
- 经济补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 赔偿金：经济补偿标准的二倍。例如，若工作了6个月，月工资为5000元，则赔偿金为 \(5000 \text{元/月} \times 1 \text{个月} \times 2 = 10000 \text{元}\)。
三、其他可能的权益
- 补缴社会保险费：若工厂未依法为劳动者缴纳社会保险费，劳动者可以要求工厂补缴。
- 加班工资等劳动报酬：若存在加班事实且未支付加班工资，劳动者可以主张加班工资等劳动报酬。
- 年休假工资：若劳动者符合享受年休假的条件但工厂未安排，应按照日工资收入的300%支付未休年休假工资报酬。
四、维权途径
- 协商：首先尝试与工厂进行协商，要求支付相应的赔偿。
- 投诉举报：向当地劳动监察部门投诉举报工厂的违法行为。
- 申请仲裁：若协商无果，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求工厂支付双倍工资差额、赔偿金等。
- 提起诉讼：对仲裁结果不服的，可以向人民法院提起诉讼。
五、注意事项
- 证据收集：劳动者在主张上述赔偿和权益时，应收集相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、工友证言等，以证明劳动关系及工作时间、工资待遇等情况。
- 时效限制：劳动者应在规定时效内主张权利，避免权益受损。
举例说明：若小李在工厂工作了8个月，月工资为5000元，且一直未签订劳动合同，后被工厂违法开除。则小李可以主张的双倍工资差额为\(5000 \text{元/月} \times 7 \text{个月} = 35000 \text{元}\)，赔偿金为\(5000 \text{元/月} \times 1 \text{个月} \times 2 = 10000 \text{元}\)，总计45000元。
综上所述，未签订劳动合同且被工厂开除的劳动者，应依法维护自己的合法权益。在维权过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。