结论前置：
- 若公司未在法定期限内签订书面劳动合同，您有权要求公司支付双倍工资差额，并可通过劳动仲裁维护权益。
- 若公司已补签劳动合同且不存在其他违法行为，则您直接起诉要求赔偿可能缺乏法律依据。
一、若公司未在法定期限内签订书面劳动合同
根据《劳动合同法》第十条及第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您入职第40天才签订劳动合同，若前30天未签订书面合同，则公司需支付您这30天的双倍工资差额（即额外支付30天的工资）。
具体操作：
- 收集证据：保留好入职通知、工资条、考勤记录、工作证等能证明您与公司存在劳动关系的证据。
- 协商解决：可先与公司协商，要求公司支付双倍工资差额。
- 劳动仲裁：若协商无果，您可向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付双倍工资差额。
二、若公司已补签劳动合同且不存在其他违法行为
若公司在您入职后第40天补签了劳动合同，且合同内容合法、双方自愿，同时公司不存在其他违法行为（如拖欠工资、未缴纳社保等），则您直接起诉要求公司因未及时签订劳动合同而赔偿，可能缺乏法律依据。因为公司已经补签了劳动合同，且未对您造成实际损失。
但需注意：
- 补签合同的有效性：补签的劳动合同需双方自愿、内容合法，否则可能无效。
- 其他权益：即使公司已补签合同，若存在其他违法行为（如拖欠工资、未缴纳社保等），您仍可要求公司承担相应责任。
三、关于起诉的时机与方式
- 起诉时机：若您决定通过法律途径维护权益，建议在离职后尽快行动，以免超过仲裁时效（一般为1年）。
- 起诉方式：通常需先经过劳动仲裁程序，对仲裁结果不服的，方可向法院提起诉讼。
四、建议与总结
- 先协商后仲裁：建议先与公司协商解决，若协商无果，再考虑劳动仲裁。
- 保留证据：无论选择何种方式，都需保留好相关证据，以证明您的主张。
- 咨询专业律师：虽然我无法直接为您提供联系方式，但您有任何法律问题，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况，给出更详细的法律建议。
总结：入职第40天签订劳动合同，若前30天未签订书面合同，您有权要求公司支付双倍工资差额，并可通过劳动仲裁维护权益。但若公司已补签合同且不存在其他违法行为，则您直接起诉要求赔偿可能缺乏法律依据。建议您根据具体情况，选择合适的维权方式。