关于公司何时需要与员工签订固定期限劳动合同的问题，结论前置如下：

1. 首次用工时：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。这意味着，无论劳动合同是固定期限、无固定期限还是以完成一定工作任务为期限，公司都应在首次用工时的一个月内与员工签订书面合同。若公司未在此期限内签订，则可能面临支付双倍工资等法律责任。

2. 劳动合同到期后续签时：当固定期限劳动合同到期时，如果双方同意继续维持劳动关系，公司应当与员工续签劳动合同。此时，可以选择续签固定期限劳动合同，也可以根据双方意愿和法律规定签订无固定期限劳动合同。若公司未在劳动合同到期后及时与员工续签，且继续用工的，同样可能面临法律责任。

详细分析：

• 首次用工的签订要求：

  • 根据《劳动合同法》第十条，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
  • 若公司未在规定时间内与员工签订书面劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

• 劳动合同到期后的处理：

  • 当固定期限劳动合同到期时，公司应根据实际情况和员工意愿决定是否续签。
  • 若双方同意续签，可以选择续签固定期限劳动合同或无固定期限劳动合同。无固定期限劳动合同的签订条件包括但不限于：劳动者在该用人单位连续工作满十年的；用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
  • 若公司未在劳动合同到期后及时与员工续签，且继续用工的，根据相关法律规定，公司可能面临支付双倍工资等法律责任。

建议与后果：

• 建议：公司应严格遵守《劳动合同法》的相关规定，及时与员工签订书面劳动合同，并在劳动合同到期前与员工协商续签事宜。
• 法律后果：若公司未按时签订或续签劳动合同，可能面临支付双倍工资、承担行政责任等法律后果。同时，这也可能影响公司的声誉和员工关系，对公司的长期发展不利。

总结：公司应在首次用工时的一个月内与员工签订书面劳动合同，并在劳动合同到期前与员工协商续签事宜。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。