您在没有签订劳动合同的情况下被台球室开除，是有权要求赔偿的。以下是从不同角度为您进行的分析：
一、法律依据
根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果台球室在您工作超过一个月后仍未与您签订劳动合同，您有权要求台球室支付双倍工资作为赔偿。
同时，如果台球室无正当理由开除您，即构成违法解除劳动合同，您还有权要求台球室支付经济补偿金。经济补偿金的标准通常是根据您在台球室的工作年限来计算，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
二、实际操作建议
收集证据：首先，您需要收集能够证明您与台球室存在劳动关系的证据，如工资条、工作记录、考勤记录、同事证言等。这些证据将有助于您在后续的协商或仲裁过程中证明自己的权益。
尝试协商：在收集到足够证据后，您可以尝试与台球室进行协商，要求其按照法律规定支付双倍工资和经济补偿金。如果协商成功，这将是最快捷、最经济的解决方式。
提起劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会提起劳动仲裁。在提起仲裁时，您需要提交仲裁申请书、证据材料等。劳动仲裁委员会将依法进行审理，并作出裁决。如果裁决支持您的诉求，台球室将需要按照裁决结果支付赔偿。
三、注意事项
时效性：请注意，劳动仲裁的时效性为一年，自您知道或应当知道自己的权益被侵害之日起计算。因此，建议您尽快采取行动，以免错过时效。
法律程序：在整个过程中，请务必遵循法律程序，不要采取过激行为或违法手段来维护自己的权益。否则，可能会给自己带来不必要的麻烦。
最后，我建议您在处理此类问题时保持冷静和理性，通过合法途径来维护自己的权益。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以随时向我咨询，我将竭诚为您提供专业的法律帮助。