结论：公司没有签订劳动合同就开除员工，员工在符合法定条件下有权要求公司支付双倍工资及违法解除劳动关系的赔偿金。以下是对此问题的详细分析：
一、未签订劳动合同的双倍工资赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
计算要点：
- 计算期间：从用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日，或至劳动关系实际解除之日（若未补订）。
- 基数确定：按劳动者应得工资计算，包括计时工资、计件工资以及奖金、津贴和补贴等货币性收入。
- 举例：若员工于2023年1月1日入职，月工资为5000元，公司一直未签订合同，直到2023年10月1日才签订（但实际在9月1日已开除员工），则双倍工资的计算期间为2023年2月1日至2023年8月31日，公司需支付员工这7个月的双倍工资差额，即5000元/月 × 7月 = 35000元（需扣除已正常发放的单倍工资）。
二、违法解除劳动关系的赔偿金
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条、第八十七条，若用人单位开除劳动者的行为构成违法解除或者终止劳动合同，劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
计算标准：
- 经济补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 赔偿金计算：赔偿金为经济补偿标准的二倍。
- 举例：若员工在公司工作了2年，月工资为5000元，公司违法将其开除，则经济补偿为2 × 5000元 = 10000元，赔偿金则为10000元 × 2 = 20000元。
三、合法解除但需支付经济补偿的情形
- 若公司开除员工符合《中华人民共和国劳动合同法》规定的合法情形（如员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位仍不能胜任等），则需向员工支付经济补偿金，计算标准与上述经济补偿标准相同。
四、维权途径与建议
证据收集：
- 员工应积极收集相关证据来证明与用人单位之间的劳动关系，包括但不限于工资支付记录（如工资条、银行工资流水）、工作证、考勤记录、同事的证人证言、工作沟通的聊天记录以及电子邮件等。
维权途径：
- 在收集了充分证据后，员工可以先尝试与公司进行协商，协商不成时可以向当地的劳动监察部门投诉，或者依法申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
总结与建议：公司没有签订劳动合同就开除员工，员工在符合法定条件下有权要求公司支付双倍工资及违法解除劳动关系的赔偿金。在实际操作中，员工应重视证据的收集，并了解正确的维权途径，以确保自己的合法权益得到有效保护。若遇到复杂情况或不确定如何操作时，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议和支持。