针对您提出的“不缴纳公积金是否有公积金管理中心起诉公司”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，明确一点，不缴纳公积金是违法的。根据国务院发布的《住房公积金管理条例》规定，单位录用职工的，应当自录用之日起30日内向住房公积金管理中心办理缴存登记，并办理职工住房公积金账户的设立或者转移手续。这是用人单位的法定义务，必须履行。
接下来，关于您提到的“是否由公积金管理中心起诉公司”的问题，这实际上涉及到了公积金管理中心对违规单位的处理流程。具体来说：
责令限期缴存：当公积金管理中心发现单位逾期不缴或者少缴住房公积金时，会首先责令该单位限期缴存。这是公积金管理中心对违规单位的初步处理措施。
申请法院强制执行：如果单位在限期内仍未履行缴存义务，公积金管理中心会进一步采取法律手段。根据《住房公积金管理条例》第三十八条以及《中华人民共和国行政强制法》的相关规定，公积金管理中心可以向有管辖权的人民法院申请强制执行。法院在审查后，如果认为申请符合法律规定，会裁定准予执行。
起诉并非直接行为：需要注意的是，公积金管理中心本身并不直接“起诉”公司，而是通过申请法院强制执行的方式来迫使公司履行缴存义务。起诉通常指的是个人或组织向法院提起诉讼，要求法院对某一争议进行裁决的行为。而在这里，公积金管理中心是作为行政机关，依据法律规定，通过申请法院强制执行来维护职工的合法权益。
实际案例：以临沂市住房公积金中心的典型案例为例，某公司因逾期不缴住房公积金被职工投诉，公积金管理中心在核查后立案，并作出《责令限期缴存决定书》。但该公司未履行补缴责任，在法定期限内也未申请行政复议或提起行政诉讼。最终，公积金管理中心依法向法院申请强制执行，并获得了法院的裁定准予执行。
综上所述，不缴纳公积金是违法的，公积金管理中心在发现单位违规后，会先责令限期缴存，如果单位仍未履行义务，公积金管理中心会依法向法院申请强制执行，而不是直接“起诉”公司。希望这个解答能够让您对公积金的缴存和管理有更清晰的认识。