结论：公司拒绝员工的弹性延迟退休申请，并不直接构成违法，但具体是否违法需结合实际情况和相关法律法规来判断。
一、弹性延迟退休的法律依据与性质
弹性延迟退休并非一项普遍适用的法律制度，而是可能基于地方政策、企业内部规定或双方协商达成的一种安排。其合法性及具体实施方式，往往依赖于地方性法规、政策文件或劳动合同、集体合同的约定。因此，若公司拒绝弹性延迟退休申请，首先需查看是否有相关的法律法规、政策文件或合同条款支持该申请。
二、公司拒绝申请的可能情形与法律分析
无相关法律法规或政策支持：
- 若当前并无明确的法律法规或政策文件规定员工有权要求弹性延迟退休，且公司内部规章制度也未对此作出规定，那么公司拒绝申请通常不构成违法。
- 在此情况下，员工无权强制要求公司同意其弹性延迟退休的申请。
有相关法律法规或政策支持，但公司拒绝：
- 若存在地方性法规、政策文件或劳动合同、集体合同中明确规定了员工有权申请弹性延迟退休，且公司无正当理由拒绝，那么公司的行为可能构成违法。
- 员工可以依据相关法律法规或合同条款，通过劳动争议调解、仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。
公司内部规章制度有规定，但拒绝理由充分：
- 即使公司内部规章制度规定了弹性延迟退休的制度，但公司若能提供充分、合理的拒绝理由（如岗位需求、人员配置等），且该理由不违反法律法规和公序良俗，那么公司的拒绝行为通常不被视为违法。
三、员工的应对策略与建议
查阅相关法律法规和政策文件：
- 员工应首先查阅当地关于弹性延迟退休的法律法规和政策文件，了解自己是否有权申请以及申请的具体条件和程序。
审查劳动合同和集体合同：
- 员工应仔细审查自己的劳动合同和集体合同，看其中是否有关弹性延迟退休的约定。
与公司协商：
- 在了解相关法律法规和合同条款后，员工可以尝试与公司进行协商，表达自己的诉求和理由，争取达成共识。
寻求法律援助：
- 若协商无果，且员工认为自己的权益受到侵害，可以寻求法律援助或咨询专业律师，通过法律途径维护自己的合法权益。
四、可能的法律后果
- 若公司无正当理由拒绝员工的弹性延迟退休申请，且该申请有明确的法律法规或政策文件支持，员工可能通过劳动争议调解、仲裁或诉讼等途径获得相应的法律救济，如要求公司继续履行合同、赔偿损失等。
- 若公司拒绝行为合法合理，员工则需接受公司的决定，并考虑其他解决方案（如提前规划退休生活、寻找其他工作机会等）。
建议：在处理此类问题时，员工应保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。同时，也建议公司在制定和执行相关规章制度时，充分考虑员工的合理诉求和利益平衡，以构建和谐稳定的劳动关系。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。