遇到上司说试用期转正申请需要延期一个月的情况，你可以按照以下几个步骤来处理：

一、核查劳动合同

首先，你需要仔细查看你的劳动合同，特别是关于试用期和转正的具体条款。劳动合同中通常会明确试用期的长度以及转正的条件和流程。如果公司没有按照合同中的规定来执行，比如擅自延长试用期而没有合理的理由，那么公司可能就违反了合同约定。

二、了解法律规定

根据劳动法的相关规定，同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。如果公司超出了法定或合同约定的试用期长度，你可以主张超期部分无效，并要求公司按照转正后的待遇来支付工资。这一点非常重要，因为它为你提供了法律上的支持。

三、与公司沟通

接下来，你应该与公司进行沟通，了解延期转正的具体原因。如果公司给出的理由不合理或者无法让你信服，你可以书面提出异议，明确要求公司按照原约定的时间进行转正。在沟通过程中，保持冷静和理性，尽量以事实为依据，表达你的诉求和期望。

四、准备证据并维护权益

如果与公司沟通无果，你需要准备好相关的证据来维护自己的权益。这些证据可以包括劳动合同、工资发放记录、工作证等，它们能够证明你的劳动关系和试用期情况。你可以向当地的劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁。在仲裁过程中，你需要清晰地陈述你的诉求和理由，并提供充分的证据来支持你的主张。

五、具体案例参考

以小许的案例为例，他入职某公司后，劳动合同约定试用期为三个月。但在试用期满前，公司通知他试用期延长一个月，却未说明具体理由。小许认为公司此举不合理，与公司沟通后公司给出的理由难以让他信服。在这种情况下，小许可以依据法律规定主张超期部分无效，并要求公司按转正后的待遇支付工资。如果公司不同意，小许可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

六、总结与建议

面对试用期转正申请延期的情况，你需要保持冷静和理性，先核查劳动合同和了解法律规定，然后与公司进行沟通并表达你的诉求。如果沟通无果，你需要准备好相关证据并维护自己的权益。在整个过程中，保持专业和礼貌的态度是非常重要的。同时，我也建议你咨询专业的法律人士或劳动仲裁机构，以获取更具体和专业的建议。