被留置的私企老板不一定会把官员供出来，这取决于多种因素。以下是对这一问题的详细分析：

1. 留置的性质与目的

留置是监察机关在调查职务违法和职务犯罪时采取的一种限制人身自由的强制措施。其目的在于确保调查的顺利进行，防止被调查人逃匿、串供或毁灭证据。留置本身并不直接决定被留置人是否会供出官员，而是为调查提供了时间和空间上的保障。

2. 被留置人的心理与行为选择

• 心理因素：被留置的私企老板在面对留置时，可能会产生恐惧、焦虑、悔恨等复杂情绪。这些情绪可能影响其是否选择供出官员。例如，一些老板可能因害怕更严重的法律后果而选择配合调查，供出相关官员；而另一些则可能因忠诚、义气或担心报复而选择沉默。
• 行为选择：被留置人的行为选择还受到其个人价值观、道德观以及法律意识的影响。一些老板可能认为供出官员是“背叛”行为，违背其个人原则；而另一些则可能认为配合调查是“明智”之举，有助于减轻自身法律责任。

3. 法律后果与利益权衡

• 法律后果：供出官员可能带来一定的法律后果，如被指控为共犯或面临其他法律责任。然而，不供出官员也可能导致调查陷入僵局，无法证明自身清白。因此，被留置人需要在法律后果与自身利益之间进行权衡。
• 利益权衡：除了法律后果外，被留置人还需要考虑其他利益因素，如家庭、事业、声誉等。这些因素可能影响其是否选择供出官员。例如，一些老板可能因担心家庭受到牵连而选择配合调查；而另一些则可能因担心事业受损而选择沉默。

4. 调查机关的策略与手段

• 调查策略：调查机关在调查过程中会采取多种策略，如心理攻势、证据展示、法律教育等，以促使被留置人配合调查。这些策略可能影响被留置人是否选择供出官员。
• 调查手段：调查机关还可能利用技术手段、线人情报等获取相关证据。这些手段可能增加被留置人供出官员的风险。

5. 实际案例与司法实践

在实际案例中，被留置的私企老板是否供出官员因案件而异。一些案件中，老板可能因配合调查而供出相关官员；而在另一些案件中，老板则可能选择沉默或提供虚假信息。司法实践也表明，供出官员并不一定意味着能够减轻自身法律责任，关键在于证据的充分性和法律程序的合法性。

建议：

• 对于被留置的私企老板而言，应理性看待留置措施，积极配合调查机关的工作。
• 在面对调查时，应如实陈述事实，避免提供虚假信息或隐瞒重要证据。
• 如需法律帮助或咨询，可直接向我提问，我将根据具体情况提供专业的法律意见。