交通事故监控视频家属通常不直接拥有，但可以通过特定途径依法申请查看并可能获得拷贝。

在交通事故处理过程中，监控视频作为重要的证据材料，对于查明事故真相、划分责任等具有重要作用。然而，家属并不直接拥有这些视频资料，而是需要遵循一定的法律程序和规定来申请查看或拷贝。

一、申请查看与拷贝的途径

1. 向交警部门申请：家属可以向处理该起事故的交警部门提出申请，说明自己与事故当事人的关系以及查看、拷贝视频的目的。交警部门会根据案件具体情况和相关规定，审核决定是否允许家属在特定场所、按照一定程序查看监控视频，并可能根据实际需要提供拷贝服务。

2. 通过诉讼程序获取：如果事故涉及诉讼，家属作为当事人或其代理人，可以在诉讼过程中通过法定程序向法院申请调取相关监控视频作为证据。法院在审理案件时，若认为该视频对查明案件事实有重要作用，会依法要求交警部门提供，此时家属可能通过合法的司法程序获得视频的拷贝件。

3. 通过律师申请调查令：若家属无法通过直接途径从交警部门获取视频，还可以委托专业律师向人民法院申请调查令。律师持调查令可向交警部门调取视频监控，此方式更为正式且法律程序化。

二、申请时需注意的事项

1. 提供合理理由和证明：家属在申请查看或拷贝视频时，应提供合理理由和证明其与事故的关联性，以便交警部门或法院审核决定是否允许。

2. 遵守隐私保护规定：若视频涉及他人隐私或敏感信息，家属需经过特殊处理或获得相关许可才能查看和拷贝，以避免侵犯他人合法权益。

三、法律依据

• 根据《道路交通事故处理程序规定》第六十五条，当事人收到道路交通事故认定书后，可以查阅、复制、摘录公安机关交通管理部门处理道路交通事故的证据材料，包括监控录像（但需遵守证人保密、国家秘密、商业秘密及个人隐私等相关法律法规）。
• 根据《中华人民共和国民事诉讼法》等相关法律规定，当事人在提出主张时需及时提供证据，因此家属在申请查看或拷贝视频时，应确保其行为符合法律程序。

我建议：家属在尝试获取交通事故监控视频时，应充分了解并遵循相关法律程序和规定。如遇疑问或困难，可以及时咨询专业律师以获取准确的法律意见和指导。