核心结论：针对两个13周岁孩子在学校互殴且对方受伤严重的情况，学校调解时需重点关注责任划分、赔偿协商及后续预防措施，同时需结合法律对未成年人责任能力的规定妥善处理。以下是具体分析：

1. 法律责任与年龄认定

• 根据《民法典》第19条，13周岁属于限制民事行为能力人，其造成的损害需由监护人承担侵权责任。因此，双方家长作为监护人需对孩子的行为后果负责，包括医疗费、护理费等合理支出。
• 若互殴行为涉及故意伤害且达到刑事责任年龄（已满12周岁不满14周岁，经最高检核准追诉的故意伤害致人重伤/死亡案件），可能涉及刑事责任，但本案中双方均为13周岁且未提及重伤/死亡，故刑事责任风险较低，但仍需关注伤情鉴定结果。

2. 学校调解的关键步骤

• 第一步：固定证据
  学校应立即调取监控、询问目击者，明确互殴起因、过程及双方过错程度。例如，是否一方先动手、是否存在长期矛盾等，这些将影响责任比例划分。
• 第二步：协商赔偿方案
  根据《民法典》第1188条，监护人需按过错比例赔偿。若双方均有过错（如互殴），可协商按比例分担费用（如5:5或6:4）。若一方无过错（如完全被动防御），则另一方需承担全部责任。
• 第三步：签订书面协议
  调解结果需形成书面文件，明确赔偿金额、支付方式及时间节点，并由双方家长、学校代表签字确认，避免后续纠纷。

3. 后续预防措施

• 学校层面：加强校园安全教育，通过主题班会、心理辅导等方式引导学生正确处理矛盾，避免肢体冲突。
• 家庭层面：家长需与孩子沟通，了解其社交情况，培养其责任意识与情绪管理能力。
• 法律层面：若伤情较重（如构成轻伤二级以上），可建议家长通过司法鉴定明确损伤程度，为后续协商或诉讼提供依据。

4. 特殊情形处理

• 若一方家长拒绝调解或赔偿，另一方可向法院提起民事诉讼，要求监护人承担赔偿责任。
• 若互殴行为涉及校园欺凌（如一方长期针对另一方），学校需启动反欺凌机制，对欺凌者进行纪律处分，并通报家长。

建议：调解过程中，学校应保持中立，避免偏袒任何一方；家长需理性沟通，以孩子利益为重。若对责任划分或赔偿金额有争议，可随时向我咨询具体法律适用及协商策略。