在两个儿子中，若一个儿子不承担照顾老人的责任，另一个儿子在承担照顾责任时，理论上可以要求不承担照顾责任的儿子分担相关费用，具体费用可涵盖生活费、医疗费、护理费等多个方面。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、法律角度
赡养义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，子女对父母负有赡养义务，这包括经济上的供养、生活上的照料和精神上的慰藉。若一个儿子不履行赡养义务，另一个儿子在承担照顾责任时，有权要求其分担相应的费用。
费用分担原则：
- 在确定费用分担时，应遵循公平、合理的原则。具体分担比例可根据双方的经济状况、赡养能力以及实际赡养情况等因素进行协商确定。若协商不成，可通过法律途径解决，如提起诉讼，由法院根据具体情况判决。
二、费用类型及分担
生活费：
- 生活费是老人日常生活的必要开支，包括食物、衣物、住房等费用。若一个儿子不承担照顾责任，另一个儿子在承担这些费用时，有权要求其分担。
医疗费：
- 医疗费是老人因疾病或受伤而产生的费用。在老人需要医疗照顾时，若一个儿子不承担相关费用，另一个儿子在支付医疗费后，有权要求其分担。
护理费：
- 护理费是老人因年老体弱或患病而需要他人护理时产生的费用。若一个儿子不提供护理服务，另一个儿子在聘请护理人员或自行护理时产生的费用，有权要求其分担。
三、实际操作建议
协商解决：
- 首先，建议双方通过协商的方式解决费用分担问题。可以邀请家族长辈或亲友作为中间人进行调解，以达成公平合理的费用分担协议。
签订协议：
- 若协商成功，建议双方签订书面协议，明确各自的权利和义务，以及费用分担的具体比例和方式。这有助于避免未来可能出现的纠纷。
法律途径：
- 若协商不成，另一个儿子可以通过法律途径解决费用分担问题。可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和证据要求，然后向法院提起诉讼。
四、注意事项
- 在要求不承担照顾责任的儿子分担费用时，应确保所要求的费用是合理且必要的。避免提出过高或不合理的费用要求，以免引发不必要的纠纷。
- 同时，也要考虑到不承担照顾责任儿子的经济状况和赡养能力。若其经济困难或赡养能力有限，应适当调整费用分担比例或方式。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供更为详细和专业的法律建议。