当员工在病情期间劳动合同到期时，处理方式需严格遵循相关法律法规，以确保双方权益得到妥善保障。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据与原则
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在规定的医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。具体来说，第四十二条明确指出，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依照本法第四十条（无过失性辞退）、第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。同时，第四十五条规定，劳动合同期满，有本法第四十二条规定情形之一的，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。
二、处理步骤与细节
劳动合同自动延续：
- 当员工处于医疗期且劳动合同即将到期时，根据法律规定，劳动合同应自动延续至医疗期满。这意味着，即使原合同约定的期限已到，但由于员工仍在医疗期内，劳动关系依然有效，用人单位无权单方面终止合同。
医疗期的计算与待遇：
- 医疗期的长度根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，一般为3个月到24个月不等。具体计算方式可参照劳动部《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》。
- 在医疗期内，员工享有病假工资或疾病救济费。这些费用可以低于当地最低工资标准支付，但不能低于最低工资标准的80%。这是为了保障员工在医疗期间的基本生活需求。
劳动合同终止条件：
- 劳动合同在医疗期满后终止，除非双方另有约定或存在其他法定续延情形。
- 如果员工在医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。但在此情况下，用人单位需要按照法律规定向员工支付经济补偿金。经济补偿的标准根据员工在本单位的工作年限和月工资来确定。
特殊情况处理：
- 若医疗终结后，员工被鉴定为完全丧失劳动能力或部分丧失劳动能力，且符合退休、退职条件的，应办理相关手续并享受相应待遇。
- 若不符合退休、退职条件，经双方协商，可续订劳动合同以维持劳动关系。这体现了对员工权益的尊重和保护。
三、操作建议
及时沟通：
- 用人单位应与员工进行充分沟通，了解其病情和治疗进展，以便合理安排后续工作。这有助于建立和谐的劳动关系，减少不必要的纠纷。
保留证据：
- 妥善保存医疗证明、劳动合同等相关文件，作为处理劳动争议的依据。这些文件在发生争议时具有重要的证明作用。
依法处理：
- 严格按照法律法规要求进行操作，避免违法风险。用人单位在处理员工病情期间劳动合同到期问题时，必须遵守相关法律法规，确保处理结果的合法性和公正性。
综上所述，当员工在病情期间劳动合同到期时，用人单位应依法处理，确保劳动合同的自动延续至医疗期满，并根据员工的实际情况和法律规定来决定后续的处理方式。