针对您在新公司干了半个月就生病住院的情况，以下是我的分析和建议：

1. 关于劳动合同与病假权益：

   • 首先，您需要确认是否已经与新公司签订了正式的劳动合同。如果签订了，那么根据《劳动法》和《劳动合同法》的相关规定，您作为劳动者享有病假权益。在病假期间，公司应当按照规定支付您病假工资或者疾病救济费。
   • 如果尚未签订劳动合同，但已经形成了事实劳动关系，您同样有权享受病假待遇。不过，这种情况下可能需要您提供更多的证据来证明与公司的劳动关系，如工作证、工资条、同事证言等。

2. 关于病假申请与证明：

   • 您应当及时向公司提出病假申请，并附上医院出具的病假证明。这是您享受病假待遇的重要依据。
   • 如果公司对您的病假申请有异议，或者要求您提供额外的证明材料，您应当积极配合，并按照公司的规定办理相关手续。

3. 关于工资与福利待遇：

   • 在病假期间，您的工资可能会受到一定影响，但具体影响程度取决于公司的规章制度和当地的法律法规。一般来说，公司会按照一定比例支付您病假期间的工资。
   • 除了工资外，您还应当关注自己的福利待遇是否受到影响，如社保、公积金等。如果公司因为您的病假而停止缴纳这些费用，您有权要求公司补缴。

4. 关于后续工作安排：

   • 在病假结束后，您应当及时与公司沟通，了解后续的工作安排。如果因为病假导致工作进度滞后，您可以与公司协商制定合理的工作计划，以确保工作的顺利进行。
   • 同时，您也应当关注自己的身体状况，确保在恢复健康后再投入工作，避免因为过度劳累而加重病情。

5. 关于法律维权途径：

   • 如果公司在您病假期间存在违法行为，如拒绝支付病假工资、停止缴纳社保等，您有权向当地的劳动监察部门投诉或者申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
   • 在维权过程中，您应当保留好相关证据，如病假证明、工资条、劳动合同等，以便在需要时提供证明。

综上所述，针对您在新公司干了半个月就生病住院的情况，我建议您首先确认与公司的劳动关系和病假权益，然后及时向公司提出病假申请并附上相关证明。在病假期间关注自己的工资和福利待遇是否受到影响，并在病假结束后与公司沟通后续的工作安排。如果公司存在违法行为，您有权通过法律途径来维护自己的合法权益。如有任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。