工程未竣工验收时，承包人确实有权起诉要求支付工程进度款，但需满足一定条件。以下是对此问题的详细分析：
合同约定的付款条件成就：
- 如果建设工程施工合同中明确规定了工程进展到特定阶段或满足某些条件时，发包方应支付工程进度款，那么即使工程尚未竣工验收，只要这些约定的付款条件已经达成，承包人就有权依据合同条款向法院提起诉讼，要求发包方支付相应款项。例如，合同可能约定在工程主体结构完工后支付一定比例的工程款，当这一条件满足时，承包人就可以就该部分款项提起诉讼。
发包方严重违约：
- 若发包方存在未按约定提供施工条件、拖欠工程进度款等严重影响工程进行的违约行为，承包人可以根据法律和合同条款，在工程未竣工验收的情况下提起诉讼，要求发包方承担违约责任并支付已完成工程的款项。例如，发包方未按时提供施工场地导致工程延误，承包人就可以据此起诉要求赔偿及支付已完成部分的工程款。
一方明确表示不履行合同：
- 如果发包方明确表示不再履行合同义务，或以实际行动（如擅自将工程另行发包）表明其不履行合同，承包人可以在工程未竣工验收时提起诉讼，要求发包方支付已完成工程的款项并承担违约责任。
在起诉时，承包人需要注意以下关键问题：
证据的收集与准备：
- 承包人需要提供能证明已完成工程的范围、质量、工程量及价款等方面的确凿证据，如签证单、工程量确认单、工程进度报表及材料采购凭证等。这些证据将有助于法院准确判定已完工程的价值及发包方应支付的款项。
工程价款的确定：
- 由于工程尚未竣工验收，工程价款的确定可能成为诉讼中的核心争议点。法院通常会根据双方提供的证据，如合同约定的计价方式、已完工程的实际情况等，来裁定工程价款。若双方无法就工程价款达成一致，法院可能会委托专业的工程造价鉴定机构进行鉴定，以确定合理的工程价款。
起诉前的建议：
- 在决定起诉之前，建议承包人首先尝试通过协商、调解等非诉讼方式解决纠纷。这不仅有助于更快速、更有效地解决问题，还能节省大量的诉讼成本和时间。若协商无果，再考虑通过法律途径维护自身权益。
法律依据：
- 根据《民法典》的相关规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。因此，承包人在提起诉讼时，需要注意诉讼时效的问题，确保在诉讼时效内提起诉讼。
综上所述，工程未竣工验收时，承包人在满足一定条件的情况下，完全有权起诉要求支付工程进度款。但在提起诉讼前，承包人应充分准备证据，并考虑通过非诉讼方式解决纠纷的可能性。如有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。