针对您提出的“员工拒绝指定医院就医、复查、陪同就医，公司能否不认可员工病假”这一问题，以下是我的详细解答：

1. 公司指定医院复查的合法性分析：

   • 在企业已通过劳动合同或合法的规章制度就指定医院复查病假事宜作出明确约定或规定的前提下，若员工病情或病假确实存疑，企业按照劳动合同或规章制度要求员工复查，员工无正当理由拒绝或不予理会，企业据此对员工作出处分（包括解除劳动合同）的，则较有可能被认定为合法。
   • 然而，若员工首次请病假且病假不存在明显问题，企业强制要求员工至其指定医院进行复查并因员工拒绝配合而作出处分的，该类处分有失合理性，一般较难得到司法机关支持。

2. 员工拒绝指定医院就医的法律后果：

   • 法律保护劳动者的身体健康权，当劳动者身体不适时，可以到有资质的医院就医。用人单位有权审批劳动者的病假证明材料，但不能证明劳动者提供的病假资料不实的，必须批准病假，否则即涉嫌违法。
   • 如果单位仅仅以劳动者未到指定医院就诊而不予认可劳动者提交的就医、病假证明资料的，单位行为不具有合理性。如果单位以此为由拒不批准劳动者病假且以劳动者旷工为由解除劳动合同的，行为违法，构成违法解除。

3. 公司应对策略与建议：

   • 公司应不断完善病假管理制度、病假管理流程，尽早取得或补正员工关于企业调查病假、指定医院复查病假等事宜的单独同意或书面授权。
   • 对于异常病假，公司应做到及时发现、尽早核实、尽快通知复查，且应谨慎运用指定复查措施，不应将之泛化适用，而仅应针对存在合理怀疑、特殊情况的员工病假进行指定复查。
   • 同时，公司也要注意避免在相关规章制度制定或实际操作过程中自设义务进而导致事倍功半。

4. 员工权益保护：

   • 劳动者能否请病假关键在于能否提交真实的就医及病假证明。单位提出要求复诊的，劳动者应当配合复诊；实务中，复诊属实的，用人单位需要承担劳动者就医复诊的交通费、诊治费。
   • 当劳动者提交了上述材料并申请了请病假，公司无正当理由而不予批准的，应当视为劳动者已经履行了相应的请假手续，有权休病假；单位以劳动者旷工为由解除劳动合同的，构成违法解除。

综上所述，公司不能仅凭员工拒绝指定医院就医、复查、陪同就医就不认可员工的病假。公司应依据法律法规和规章制度，合理、合法地处理员工的病假申请，并尊重和保护员工的合法权益。如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。