员工工作失职且无责任心，用人单位可以开除。以下是对此问题的详细分析：

一. 法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：

1. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；

这一条款明确赋予了用人单位在员工严重失职且给公司造成重大损害时的解雇权。

二. 开除条件

1. 严重失职且无责任心：

   • 员工的失职行为必须达到“严重”的程度，这通常需要根据公司的规章制度、劳动合同以及相关法律法规来判断。
   • 员工无责任心可能表现为工作态度消极、不履行工作职责等，若这种行为严重违反了公司的规章制度或职业道德，同样可以视为严重失职。

2. 造成重大损害：

   • 这里的“重大损害”通常指的是经济损失、声誉损害或其他严重后果，这种损害应当是可以量化的，并且超出了正常工作误差的范围。

三. 开除程序

1. 充分调查与取证：

   • 在解除劳动合同前，用人单位应当进行充分的调查，收集并保留员工工作失职和无责任心的相关证据，如工作记录、绩效评估报告、客户投诉等。

2. 遵循法定程序：

   • 用人单位需要向员工发出解除劳动合同的通知书，并明确解除的理由和依据。
   • 如果公司有工会，还应当将解雇理由通知工会，并研究工会的意见。

3. 支付应得工资和福利：

   • 即便是因为员工严重失职而解雇，用人单位也需要按照法律规定支付员工应得的工资和福利。

四. 例外情况

即使员工存在严重失职和无责任心的行为，但如果符合《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条规定的情形，如患病或者非因工负伤在规定的医疗期内、女职工在孕期、产期、哺乳期等，用人单位也不得解除劳动合同。

• 例如，一名员工因严重失职导致公司遭受重大经济损失，但此时该员工正处于孕期，那么公司就不能因此解除其劳动合同。

五. 我的观点

我认为，在员工工作失职且无责任心，且这种行为已经给公司造成重大损害的情况下，用人单位完全有权利依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定开除该员工。但在此过程中，用人单位必须遵循法定程序，确保开除决定的合法性和合理性。

如您还有其他关于劳动纠纷的问题或需要进一步了解相关法律规定，可以继续咨询我。