应当由公安机关追究的刑事责任，主要涉及公安机关在刑事案件中的侦查与初步处理职责。具体来说：
侦查与收集证据：
- 公安机关负责刑事案件的侦查工作，这包括收集犯罪证据、查明犯罪事实、查获犯罪嫌疑人等。例如，对于一起盗窃案件，公安机关会调查现场，收集物证、人证，以及通过监控录像等手段来锁定犯罪嫌疑人。
初步处理与移送：
- 在侦查过程中，若公安机关认为犯罪事实清楚且证据确实充分，对于轻微的刑事案件，如故意伤害（轻伤）、小额盗窃等，有权在侦查终结后作出行政处罚或其他处理措施。但这只是刑事责任的初步追究。
- 对于需要进一步追究刑事责任的案件，公安机关会将案件移送检察机关审查起诉，为刑事责任的进一步追究提供支持。
协助与配合其他司法机构：
- 在整个刑事诉讼过程中，公安机关还需与人民检察院、人民法院等司法机构紧密配合，共同确保法律的准确有效执行。例如，公安机关需按照检察机关的指引，协助调查取证，执行逮捕和预审等。
综上所述，公安机关在刑事案件中扮演着至关重要的角色，它们不仅负责案件的侦查与初步处理，还需与其他司法机构紧密配合，共同追究犯罪嫌疑人的刑事责任。如果你有任何关于刑事案件的问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问，我会尽我所能为你提供帮助。