劳务派遣公司许可到期仍存在劳务派遣业务的情况，是违法的，应当立即停止相关业务，并尽快办理许可证的延续手续。具体分析和建议如下：

一、法律分析

1. 许可证的重要性：劳务派遣经营许可证是劳务派遣公司合法开展业务的凭证。一旦许可证到期，公司就失去了合法从事劳务派遣业务的资格。

2. 违法后果：如果公司在许可证到期后仍继续从事劳务派遣业务，将面临法律处罚，包括但不限于罚款、责令停止业务、甚至吊销营业执照等。

二、处理建议

1. 立即停止业务：在许可证到期且未办理延续手续的情况下，公司应立即停止所有劳务派遣业务，以避免进一步的法律风险。

2. 办理延续手续：

   • 了解延续条件：确认公司是否满足延续劳务派遣许可证的条件，如经营情况正常、注册资本达标、有固定经营场所等。
   • 准备申请材料：按照相关规定准备延续申请所需的材料，包括延续申请报告、营业执照副本复印件、验资报告或财务审计报告等。
   • 提交申请并等待审核：将申请材料提交至当地人力资源社会保障行政部门或其指定的受理窗口，并等待审核结果。

3. 关注政策变化：由于劳务派遣政策可能会随着时间和实际情况的变化而调整，建议公司在申请延续前仔细研究最新的政策法规，确保自身符合所有要求。

三、后续注意事项

1. 合规经营：在申请延续期间及之后，公司应继续保持合法合规经营，遵守相关法律法规和政策要求。

2. 及时沟通：如果在办理延续手续过程中遇到任何问题或困难，应及时与当地人力资源社会保障行政部门沟通，寻求帮助和指导。

综上所述，劳务派遣公司许可到期仍存在劳务派遣业务是违法的。公司应立即停止相关业务，并尽快办理许可证的延续手续，以确保业务的合法性和持续性。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。