工厂在抵押贷款后未经贷款机构同意擅自出售是违法的。下面我将详细解释这一结论：

法律背景

1. 抵押贷款的定义：抵押贷款是指借款人以一定的财产（如工厂、房产等）作为抵押物，向贷款机构（如银行）借款。在贷款期间，抵押物的所有权虽然仍属于借款人，但其上已设定了抵押权，即贷款机构在借款人未按时还款时，有权依法处分抵押物以优先受偿。

2. 抵押物的处分限制：在抵押期间，未经贷款机构（抵押权人）的同意，借款人（抵押人）不得擅自处分抵押物。这是因为抵押物的处分可能会影响到贷款机构的抵押权，进而损害其合法权益。

具体分析

1. 工厂抵押贷款的情况：工厂作为抵押物，在贷款期间其所有权虽然仍属于工厂所有者（借款人），但工厂上已设定了抵押权，贷款机构有权在借款人未按时还款时依法处分工厂以优先受偿。

2. 擅自出售工厂的法律后果：如果工厂所有者在未经贷款机构同意的情况下擅自出售工厂，这将构成对抵押权的侵犯。贷款机构有权要求借款人承担违约责任，并可能依法追索其因抵押权受损而遭受的损失。此外，这种擅自处分抵押物的行为还可能触犯刑法中的相关规定，构成犯罪。

法律建议

1. 遵守合同约定：借款人在签订抵押贷款合同时，应仔细阅读合同条款，明确了解抵押物的处分限制，并严格遵守合同约定。

2. 与贷款机构协商：如果借款人确实需要处分抵押物（如工厂），应事先与贷款机构进行协商，并取得其书面同意。在协商过程中，借款人可以提出合理的还款计划或替代担保方案，以保障贷款机构的合法权益。

3. 寻求法律援助：如果借款人在处理抵押贷款相关事务时遇到法律问题或纠纷，应及时寻求专业律师的法律援助，以维护自己的合法权益。

综上所述，工厂在抵押贷款后未经贷款机构同意擅自出售是违法的。借款人应严格遵守合同约定，与贷款机构进行协商，并在必要时寻求法律援助。